Desigualdad de reordenamiento y Chebyshev

Enunciado. Sean $a_1\leq a_2\leq\cdots\leq a_n$ y $b_1\leq b_2\leq\cdots\leq b_n$ dos sucesiones de reales. Para cualquier permutación $\sigma\in S_n$:

$\sum_{i=1}^n a_i b_{n+1-i} \;\leq\; \sum_{i=1}^n a_i b_{\sigma(i)} \;\leq\; \sum_{i=1}^n a_i b_i.$

Dicho de otro modo:

• La suma máxima $\sum a_ib_i$ se obtiene cuando las dos sucesiones están ordenadas en el mismo sentido (ambas crecientes o ambas decrecientes).
• La suma mínima $\sum a_ib_{n+1-i}$ se obtiene cuando están ordenadas en sentido opuesto.

Igualdad. En la desigualdad superior: iff $a_1=\cdots=a_n$ o $b_1=\cdots=b_n$. En la inferior: análogamente.

---

Enunciado. Si $a_1\leq\cdots\leq a_n$ y $b_1\leq\cdots\leq b_n$ (misma dirección), entonces:

$\boxed{n\sum_{i=1}^n a_ib_i \;\geq\; \left(\sum_{i=1}^n a_i\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i\right).}$

Si están en sentido opuesto ($a_1\leq\cdots\leq a_n$, $b_1\geq\cdots\geq b_n$): la desigualdad se invierte.

Demostración. Sumar la desigualdad de reordenamiento para todas las permutaciones cíclicas:

$\sum_{i=1}^n a_ib_i\geq\sum_i a_ib_{\sigma_k(i)} \quad\text{para cada permutación cíclica }\sigma_k.$

Sumando las $n$ permutaciones cíclicas $(b_1,\ldots,b_n)$, $(b_2,\ldots,b_n,b_1)$, ...: cada $b_j$ aparece exactamente una vez con cada $a_i$:

$n\sum_i a_ib_i\geq\sum_i a_i\cdot\sum_j b_j=\left(\sum a_i\right)\left(\sum b_j\right). \;\square$

---

AM-GM desde reordenamiento

Para $a_1,\ldots,a_n>0$, aplicar reordenamiento a las sucesiones $(a_1,\ldots,a_n)$ (ordenadas crecientes) y a las mismas $(a_1,\ldots,a_n)$, contra la permutación cíclica:

$a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2\geq a_1a_2+a_2a_3+\cdots+a_na_1.$

(Esto no da AM-GM directamente, pero ilustra el principio.)

Nesbitt desde Chebyshev

Para $a,b,c>0$, demostrar que $\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}\geq\dfrac{3}{2}$.

Las sucesiones $(a,b,c)$ y $\left(\frac{1}{b+c},\frac{1}{a+c},\frac{1}{a+b}\right)$ están en el mismo orden (si $a\geq b$ entonces $b+c\leq a+c$ solo si... no, esto es más sutil). Alternativamente, usar Cauchy-Engel. Reordenamiento aquí es más indirecto.

$a^3+b^3+c^3\geq a^2b+b^2c+c^2a$

FALSO en general. La desigualdad $a^3+b^3+c^3\geq a^2b+b^2c+c^2a$ no es simétrica (el lado derecho es cíclico, no simétrico). Reordenamiento no aplica directamente a desigualdades cíclicas.

Esto es un error frecuente: reordenamiento solo funciona con expresiones simétricas.

Ejemplo correcto: $a^2b+b^2c+c^2a+a^2c+b^2a+c^2b\geq6abc$

Esto sí es simétrico. Por reordenamiento aplicado a $(a,b,c)$ vs $(ab, bc, ca)$ — o directamente AM-GM. $\square$

---

Ejemplo. Para $a,b,c>0$, demostrar que $a^3+b^3+c^3\geq a^2b+b^2c+c^2a+a^2c+b^2a+c^2b - ?$...

Mejor ejemplo: demostrar que $a^4+b^4+c^4\geq a^3b+b^3c+c^3a$.

Suponer WLOG $a\geq b\geq c>0$. Entonces $a^3\geq b^3\geq c^3$ y $a\geq b\geq c$. Por reordenamiento:

$a^3\cdot a+b^3\cdot b+c^3\cdot c\geq a^3\cdot b+b^3\cdot c+c^3\cdot a.$

(La suma $a^4+b^4+c^4$ es la suma "ordenada igualmente", mientras que $a^3b+b^3c+c^3a$ es una suma bajo una permutación cíclica.) $\square$

---

Técnica	Cuándo	Forma típica
Reordenamiento	Expresiones simétricas donde el orden importa; cuando "lo mayor va con lo mayor"	$\sum a_ib_i\geq\sum a_ib_{\sigma(i)}$
Chebyshev	Cuando la suma del producto es mayor que el producto de las sumas	$n\sum a_ib_i\geq(\sum a_i)(\sum b_i)$
Cauchy-Schwarz	Cuando hay raíces cuadradas o cocientes de cuadrados	$(\sum a_ib_i)^2\leq(\sum a_i^2)(\sum b_i^2)$

Regla práctica. Si el problema tiene sumas simétricas de la forma $\sum f(a_i)g(b_i)$, y puedes ordenar ambas, prueba reordenamiento. Si hay cocientes o raíces, prueba Cauchy.

---