Desigualdades de Newton y Maclaurin para simétricos

Para $a_1,\ldots,a_n>0$, los polinomios simétricos elementales son:

$e_1=\sum a_i, \quad e_2=\sum_{i<j}a_ia_j, \quad e_3=\sum_{i<j<k}a_ia_ja_k, \quad \ldots, \quad e_n=a_1\cdots a_n.$

Las medias simétricas elementales (normalizadas) son:

$d_k = \frac{e_k}{\binom{n}{k}}.$

Así $d_1 = e_1/n = A$ (media aritmética), $d_n = e_n = G^n$ (media geométrica al exponente $n$).

Teorema (Newton, 1707). Para $a_1,\ldots,a_n>0$ y $1\leq k\leq n-1$:

$\boxed{e_k^2 \;\geq\; e_{k-1}\cdot e_{k+1},}$

equivalentemente:

$\boxed{d_k^2 \;\geq\; d_{k-1}\cdot d_{k+1}.}$

Las $d_k$ forman una sucesión log-cóncava: $\ln d_k\geq\frac{\ln d_{k-1}+\ln d_{k+1}}{2}$.

Caso $n=3$, $k=1$: $e_1^2\geq3e_2$, es decir, $(a+b+c)^2\geq3(ab+bc+ca)$.

Demostración. $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\geq3(ab+bc+ca)$ iff $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$. Esto es $\frac{1}{2}[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]\geq0$. $\square$

Caso $n=3$, $k=2$: $e_2^2\geq3e_1e_3$, es decir, $(ab+bc+ca)^2\geq3abc(a+b+c)$.

Demostración. Expandir: $(ab+bc+ca)^2=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc(a+b+c)$. Necesitamos $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc(a+b+c)\geq3abc(a+b+c)$, es decir, $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\geq abc(a+b+c)=a^2bc+ab^2c+abc^2$. Por AM-GM: $a^2b^2+b^2c^2\geq2ab^2c$, $b^2c^2+c^2a^2\geq2abc^2$, $c^2a^2+a^2b^2\geq2a^2bc$. Sumar y dividir por $2$. $\square$

Teorema (Maclaurin, 1729). Para $a_1,\ldots,a_n>0$:

$\boxed{d_1 \;\geq\; d_2^{1/2} \;\geq\; d_3^{1/3} \;\geq\; \cdots \;\geq\; d_n^{1/n},}$

con igualdad en todas si y solo si $a_1=\cdots=a_n$.

En otras palabras, la sucesión $d_k^{1/k}$ es decreciente.

Observación. $d_1=A$ (media aritmética) y $d_n^{1/n}=(e_n)^{1/n}=G$ (media geométrica). Así $A\geq G$ es el caso extremo de Maclaurin.

Para $n=3$ explícitamente:

$\frac{a+b+c}{3} \;\geq\; \sqrt{\frac{ab+bc+ca}{3}} \;\geq\; \sqrt[3]{abc}.$

Estas son las tres desigualdades:

1. $d_1\geq d_2^{1/2}$: equivale a $(a+b+c)^2\geq3(ab+bc+ca)$, que es Newton para $k=1$.
2. $d_2^{1/2}\geq d_3^{1/3}$: equivale a $(ab+bc+ca)^3\geq27(abc)^2(a+b+c)$... verificar.
3. $d_1\geq d_3^{1/3}$: es AM-GM: $(a+b+c)/3\geq(abc)^{1/3}$.

Para tres variables $a,b,c>0$ con $e_1=p$, $e_2=q$, $e_3=r$, las restricciones son:

• Newton $k=1$: $p^2\geq3q$
• Newton $k=2$: $q^2\geq3pr$
• Schur $t=1$: $p^3+9r\geq4pq$ (i.e., $e_1^3-4e_1e_2+9e_3\geq0$)
• Positividad: $r>0$, $q>0$, discriminante de la PG $\geq0$

Estas restricciones definen el dominio válido para $(p,q,r)$ cuando $a,b,c>0$. El método uvw trabaja dentro de este dominio.

Aplicación 1: $ab+bc+ca\leq(a+b+c)^2/3$

Para $a,b,c\geq0$: $(a+b+c)^2\geq3(ab+bc+ca)$. Inmediato de Newton $k=1$. $\square$

Aplicación 2: acotar $e_3$ desde $e_1$ y $e_2$

Por Newton: $e_2^2\geq3e_1e_3$, luego $e_3\leq e_2^2/(3e_1)$.

También, de AM-GM aplicado a $a,b,c$: $e_3\leq(e_1/3)^3$.

Combinando: el rango de $e_3$ para $e_1,e_2$ fijos está acotado por las desigualdades de Newton y Schur.

Aplicación 3: Maclaurin en problemas de optimización

Ejemplo. Para $a,b,c>0$ con $a+b+c=3$, demostrar que $ab+bc+ca\leq3$ y $abc\leq1$.

De Maclaurin: $d_1=1\geq d_2^{1/2}$, luego $d_2=(ab+bc+ca)/3\leq1$, así $ab+bc+ca\leq3$.

$d_1=1\geq d_3^{1/3}=(abc)^{1/3}$, luego $abc\leq1$.

Ambas con igualdad en $a=b=c=1$. $\square$

Aplicación 4: demostrar Nesbitt vía Maclaurin

Para $a,b,c>0$ con $a+b+c=s$:

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}=\frac{a}{s-a}+\frac{b}{s-b}+\frac{c}{s-c}\geq\frac{3}{2}.$

Se puede probar desde Newton: $\sum\frac{a}{s-a}=\sum\frac{a}{s-a}\cdot\frac{1}{1}$. Por Chebyshev (si $a\geq b\geq c\Rightarrow1/(s-a)\geq1/(s-b)\geq1/(s-c)$) y Maclaurin: $\sum a\cdot\frac{1}{s-a}\geq\frac{1}{3}(\sum a)(\sum\frac{1}{s-a})=\frac{s}{3}\cdot\sum\frac{1}{s-a}$.

Ya demostrado: equivale a Newton $k=1$: $(a+b+c)^2\geq3(ab+bc+ca)$.

$d_2=(ab+bc+ca)/3$, $d_3=abc$. Hay que demostrar:

$\left(\frac{ab+bc+ca}{3}\right)^3 \geq (abc)^2.$

Por AM-GM sobre $ab,bc,ca$: $\dfrac{ab+bc+ca}{3}\geq(ab\cdot bc\cdot ca)^{1/3}=(abc)^{2/3}$.

Elevando al cubo: $\left(\dfrac{ab+bc+ca}{3}\right)^3\geq(abc)^2$. $\square$