Desigualdades básicas: el cuadrado no negativo

Para todo número real $x$:

$\boxed{x^2 \geq 0,}$

con igualdad si y solo si $x = 0$.

Este hecho, junto con las propiedades de orden de $\mathbb{R}$ (suma e multiplicación preservan el orden para positivos), es la base de todas las desigualdades entre reales.

---

Para cualesquiera $a,b\in\mathbb{R}$:

$(a-b)^2\geq0 \implies a^2-2ab+b^2\geq0 \implies \boxed{a^2+b^2\geq2ab.}$

Igualdad iff $a=b$.

Esto es AM-GM para dos variables: si $a,b\geq0$, sustituir $a\to\sqrt{a}$, $b\to\sqrt{b}$:

$a+b\geq2\sqrt{ab},$

que es exactamente AM-GM.

Variante útil. Para $a,b>0$:

$(a-b)^2\geq0 \implies a^2+b^2\geq2ab \implies \frac{a^2+b^2}{2}\geq ab \implies \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq2.$

Ejemplos

Ejemplo 1. Para $x>0$, demostrar que $x+\dfrac{1}{x}\geq2$.

De $(\sqrt{x}-1/\sqrt{x})^2\geq0$: $x-2+1/x\geq0$, luego $x+1/x\geq2$. $\square$

Ejemplo 2. Para $a,b\in\mathbb{R}$, demostrar que $a^2+b^2+1\geq ab+a+b$.

$a^2+b^2+1-ab-a-b = \tfrac12[(a-b)^2+(a-1)^2+(b-1)^2]\geq0. \;\square$

(Este es el primer ejemplo de la técnica SOS.)

---

Valor absoluto. Para $x\in\mathbb{R}$:

$|x| = \begin{cases}x & \text{si }x\geq0,\\ -x & \text{si }x<0.\end{cases}$

Equivalentemente, $|x|=\sqrt{x^2}$.

Propiedades básicas:

Propiedad	Enunciado
No negatividad	$\|x\|\geq0$, con igualdad iff $x=0$
Multiplicativa	$\|ab\|=\|a\|\cdot\|b\|$
Cuadrado	$x^2=\|x\|^2$
Simétrica	$\|-x\|=\|x\|$
Acotación	$-\|x\|\leq x\leq\|x\|$

Desigualdad triangular:

$\boxed{|a+b|\leq|a|+|b|}$

Demostración. $(|a+b|)^2=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\leq a^2+2|a||b|+b^2=(|a|+|b|)^2$. Como ambos lados son no negativos, tomando raíces: $|a+b|\leq|a|+|b|$. $\square$

Desigualdad triangular inversa:

$\boxed{|a-b|\geq\big||a|-|b|\big|}$

Demostración. $|a|=|(a-b)+b|\leq|a-b|+|b|$, luego $|a|-|b|\leq|a-b|$. Por simetría ($a\leftrightarrow b$): $|b|-|a|\leq|a-b|$. Las dos juntas dan $||a|-|b||\leq|a-b|$. $\square$

Igualdad en la triangular. $|a+b|=|a|+|b|$ iff $a$ y $b$ tienen el mismo signo (o alguno es $0$).

Ejemplos

Ejemplo 1. Demostrar que para todo $x\in\mathbb{R}$: $|x-3|+|x-7|\geq4$.

$|x-3|+|x-7|=|x-3|+|7-x|\geq|(x-3)+(7-x)|=|4|=4.$ $\square$

Ejemplo 2. Demostrar que $||a|-|b||\leq|a-b|$.

(Directamente de la desigualdad triangular inversa.) $\square$

Ejemplo 3. ¿Para qué $x$ es $|2x-1|+|x+3|=|3x+2|$?

$|2x-1|+|x+3|\geq|(2x-1)+(x+3)|=|3x+2|$ siempre. Igualdad cuando $(2x-1)$ y $(x+3)$ tienen el mismo signo, es decir, cuando $2x-1\geq0$ y $x+3\geq0$, lo que da $x\geq1/2$. Para $-3\leq x<1/2$: $|2x-1|=1-2x$ y $|x+3|=x+3$, suma $4-x$; $|3x+2|$: verificar si $3x+2\geq0$ (iff $x\geq-2/3$). Para $x<-3$: $|2x-1|+|x+3|=1-2x-x-3=-3x-2$ y $|3x+2|=-3x-2$ ✓.

Así la igualdad ocurre para $x\geq1/2$ y para $x\leq-3$.

---

Idea. Para demostrar $P(a,b,c)\geq0$, escribir $P$ explícitamente como suma de cuadrados con coeficientes no negativos:

$P = \lambda_1(A_1)^2 + \lambda_2(A_2)^2 + \cdots, \quad \lambda_i\geq0.$

Entonces $P\geq0$ es inmediato.

Recetas básicas:

$2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) = (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2.$

$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca = \tfrac12[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2].$

Estas dos son las más usadas en olimpiada.

Ejemplos de SOS

Ejemplo 1. Demostrar que $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$ para todo $a,b,c\in\mathbb{R}$.

$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca = \tfrac12[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]\geq0. \;\square$

Ejemplo 2. Demostrar que $(a+b+c)^2\geq3(ab+bc+ca)$ para $a,b,c\in\mathbb{R}$.

Equivalente a $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$ (expandir y simplificar). Por el Ejemplo 1. $\square$

Ejemplo 3. Demostrar que para $a,b,c>0$: $a^3+b^3+c^3-3abc\geq0$.

$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)\cdot\underbrace{\tfrac12[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]}_{\geq0}\geq0.$

(Usando la identidad de la sección anterior.) $\square$

Ejemplo 4. Demostrar que $3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\geq(abc)^{4/3}\cdot\text{algo}$... Mejor: demostrar que $a^4+b^4\geq a^3b+ab^3=ab(a^2+b^2)$.

$a^4+b^4-a^3b-ab^3=a^3(a-b)-b^3(a-b)=(a-b)(a^3-b^3)=(a-b)^2(a^2+ab+b^2)\geq0.$ $\square$

---

Hay tres estrategias básicas según el nivel:

Estrategia	Cuándo	Cómo
SOS directo	$P-Q$ es un polinomio simétrico	Escribir como $\sum\lambda_i(\cdot)^2$
Comparar con cuadrado	$P$ y $Q$ con raíces o productos	Comparar $P^2$ vs $Q^2$ (si ambos $\geq0$)
Reducir a caso conocido	Homogeneidad	Normalizar y aplicar identidad

Ejemplo de "comparar con cuadrado"

Demostrar que $\sqrt{2} < \dfrac{3}{2}$.

Equivalente (ambos $>0$) a $2 < 9/4 = 2.25$. ✓ $\square$

Demostrar que $\sqrt{a}+\sqrt{b}\leq\sqrt{2(a+b)}$ para $a,b\geq0$.

Elevar al cuadrado ambos lados (ambos $\geq0$): $a+2\sqrt{ab}+b\leq2a+2b$, es decir, $2\sqrt{ab}\leq a+b$. AM-GM. $\square$

---

1. $|x|\geq x$ y $|x|\geq -x$ para todo $x$.

2. $|x|\leq M \Leftrightarrow -M\leq x\leq M$ (para $M>0$).

3. $|x-a|<\varepsilon \Leftrightarrow a-\varepsilon<x<a+\varepsilon$ (entorno de $a$).

4. Desigualdad $|a_1+\cdots+a_n|\leq|a_1|+\cdots+|a_n|$ (triangular general, por inducción).

5. Para sumas: si $|a_i|\leq M$ para todo $i$, entonces $|\sum a_i|\leq nM$.

Ejemplo de olimpiada

Hallar todos los enteros $n$ tales que $|n^2-10n+1|\leq10$.

$n^2-10n+1=(n-5)^2-24$. La condición es $|(n-5)^2-24|\leq10$, es decir, $14\leq(n-5)^2\leq34$. Así $\sqrt{14}\approx3.74\leq|n-5|\leq\sqrt{34}\approx5.83$, luego $|n-5|\in\{4,5\}$ (enteros). Así $n-5\in\{-5,-4,4,5\}$, es decir, $n\in\{0,1,9,10\}$.

---