Desigualdad de potencias: HM ≤ GM ≤ AM ≤ QM

Para reales positivos $a_1,\ldots,a_n$:

Media	Símbolo	Fórmula
Armónica	$H$	$\dfrac{n}{\frac{1}{a_1}+\cdots+\frac{1}{a_n}}$
Geométrica	$G$	$\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$
Aritmética	$A$	$\dfrac{a_1+\cdots+a_n}{n}$
Cuadrática	$Q$	$\sqrt{\dfrac{a_1^2+\cdots+a_n^2}{n}}$

Desigualdad de potencias:

$\boxed{H \;\leq\; G \;\leq\; A \;\leq\; Q,}$

con igualdad en todas si y solo si $a_1=a_2=\cdots=a_n$.

---

Para $a,b>0$:

$H = \frac{2ab}{a+b}, \qquad G=\sqrt{ab}, \qquad A=\frac{a+b}{2}, \qquad Q=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}.$

La cadena $H\leq G\leq A\leq Q$ se convierte en:

$\frac{2ab}{a+b}\leq\sqrt{ab}\leq\frac{a+b}{2}\leq\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}.$

---

AM-GM: $\dfrac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$. ✓ (Ya conocida.)

---

Para $a,b>0$: $\dfrac{2ab}{a+b}\leq\sqrt{ab}$.

Multiplicar por $(a+b)/(2\sqrt{ab})>0$: equivalente a $\sqrt{ab}\leq\dfrac{a+b}{2}$, que es AM-GM. $\square$

(Así HM-GM se reduce a GM-AM con la sustitución $a\to1/a$, $b\to1/b$: $H(a,b)=1/A(1/a,1/b)$.)

Para $n$ variables. $H=n/\sum(1/a_i)$ y $G=(a_1\cdots a_n)^{1/n}$. La desigualdad $H\leq G$ equivale a:

$\frac{n}{\sum 1/a_i}\leq(a_1\cdots a_n)^{1/n}.$

Por AM-GM aplicado a $1/a_1,\ldots,1/a_n$:

$\frac{1/a_1+\cdots+1/a_n}{n}\geq\left(\frac{1}{a_1\cdots a_n}\right)^{1/n},$

es decir, $\dfrac{\sum(1/a_i)}{n}\geq\dfrac{1}{G}$, luego $H=\dfrac{n}{\sum(1/a_i)}\leq G$. $\square$

---

Para $n$ variables: $\dfrac{a_1+\cdots+a_n}{n}\leq\sqrt{\dfrac{a_1^2+\cdots+a_n^2}{n}}$.

Elevando al cuadrado (ambos lados son positivos), equivale a:

$\left(\sum a_i\right)^2\leq n\sum a_i^2.$

Esta es exactamente la desigualdad de Cauchy-Schwarz con $b_i=1$:

$\left(\sum a_i\cdot1\right)^2\leq\left(\sum a_i^2\right)\left(\sum 1^2\right)=n\sum a_i^2. \;\square$

(O bien: de $\sum_{i<j}(a_i-a_j)^2\geq0$, expandiendo: $n\sum a_i^2\geq(\sum a_i)^2$.)

---

Definición. Para $a_1,\ldots,a_n>0$ y $r\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$:

$M_r = \left(\frac{a_1^r+\cdots+a_n^r}{n}\right)^{1/r}.$

Casos especiales:

• $M_1 = A$ (aritmética)
• $M_2 = Q$ (cuadrática o RMS)
• $M_{-1} = H$ (armónica)
• $M_{-2}$: "media cuadrática armónica"
• $\lim_{r\to0} M_r = G$ (geométrica)
• $\lim_{r\to\infty} M_r = \max(a_i)$
• $\lim_{r\to-\infty} M_r = \min(a_i)$

Teorema (Power Mean Inequality). $M_r\leq M_s$ para $r\leq s$.

Es decir, las medias de potencias son crecientes en $r$:

$\min \;=\; M_{-\infty} \leq \cdots \leq M_{-1} \leq M_0 = G \leq M_1 = A \leq M_2 = Q \leq \cdots \leq M_\infty \;=\; \max.$

---

Uso 1: reconocer la media armónica

Ejemplo. Para $a,b>0$, probar que $\dfrac{a+b}{2}\geq\dfrac{2ab}{a+b}$.

Esto es $A\geq H$: $A\geq G\geq H$ (transitiva). O directo: $(a+b)^2\geq4ab$, que es $(a-b)^2\geq0$. $\square$

Uso 2: maximizar sumas con restricción en la suma de recíprocos

Ejemplo. Para $a,b,c>0$ con $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=3$, hallar el mínimo de $a+b+c$.

$H=n/\sum(1/a_i)=3/3=1$. Por $H\leq A$: $1\leq(a+b+c)/3$, así $a+b+c\geq3$.

Igualdad en $a=b=c=1$. $\square$

Uso 3: la media cuadrática en probabilidad

Ejemplo. Para $a,b,c>0$ con $a+b+c=3$, demostrar que $a^2+b^2+c^2\geq3$.

$Q^2=(a^2+b^2+c^2)/3$ y $A=(a+b+c)/3=1$. Por $A\leq Q$: $1\leq Q$, luego $a^2+b^2+c^2\geq3$. $\square$

Uso 4: reformulación con cambio de variable

Si $a,b>0$ con $a+b=S$ fija, la media armónica es $H=2ab/S$. Maximizar $ab$ (por AM-GM, $ab\leq S^2/4$) equivale a maximizar $H$, que se alcanza en $a=b$.

---

	Fórmula	Relación con $A,G$
$Q^2-A^2$	$\frac{(a-b)^2}{4}$	$Q\geq A$, igualdad iff $a=b$
$A^2-G^2$	$\frac{(a-b)^2}{4}+\cdots$	—
$A-G$	$\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{2}$	AM-GM para $a,b>0$
$G-H$	$\frac{ab(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{A\cdot(something)}$	siempre $\geq0$
$A\cdot H$	$G^2$	$!$ Identidad: $AH=G^2$ para $n=2$

La identidad $AH=G^2$ (para $n=2$) es una de las más útiles: $\dfrac{a+b}{2}\cdot\dfrac{2ab}{a+b}=ab=(\sqrt{ab})^2$.

---