Convexidad y desigualdad de Jensen · Olimpiada Matemática

Definición

Función convexa. Una función $f: I \to \mathbb{R}$ (con $I$ intervalo) es convexa si para todos $x, y \in I$ y $\lambda \in [0,1]$ :

$f(\lambda x + (1-\lambda) y) \;\leq\; \lambda f(x) + (1-\lambda) f(y).$

Geométricamente: el segmento que une $(x, f(x))$ con $(y, f(y))$ queda por encima de la curva.

Función cóncava. $f$ es cóncava si $-f$ es convexa, es decir, si la desigualdad anterior se invierte:

$f(\lambda x + (1-\lambda) y) \;\geq\; \lambda f(x) + (1-\lambda) f(y).$

Criterio de la segunda derivada. Si $f$ es de clase $C^2$ en $I$ :

$f \text{ convexa en }I \;\Longleftrightarrow\; f''(x) \geq 0 \text{ para todo } x \in I.$ $f \text{ cóncava en }I \;\Longleftrightarrow\; f''(x) \leq 0 \text{ para todo } x \in I.$

Enunciado (Jensen)

Desigualdad de Jensen. Sea $f: I \to \mathbb{R}$ convexa y sean $x_1, \ldots, x_n \in I$ , $w_1, \ldots, w_n > 0$ con $\sum w_i = 1$ . Entonces:

$f\!\left(\sum_{i=1}^n w_i x_i\right) \;\leq\; \sum_{i=1}^n w_i f(x_i).$

Con igualdad si y solo si todos los $x_i$ son iguales, o si $f$ es lineal en el intervalo considerado.

Para $f$ cóncava, la desigualdad se invierte: $f\!\left(\sum w_i x_i\right) \geq \sum w_i f(x_i)$ .

Caso simétrico (pesos iguales $w_i=1/n$ ):

$f\!\left(\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}\right) \;\leq\; \frac{f(x_1)+\cdots+f(x_n)}{n}.$

Demostración (caso

n = 2

)

El caso $n=2$ es la definición. Para $n$ general, se prueba por inducción.

Inducción: Supuesto cierto para $n-1$ términos, con $w_n < 1$ (si $w_n=1$ es trivial) sea $W = 1-w_n > 0$ y $\mu = \sum_{i=1}^{n-1} \frac{w_i}{W} x_i$ (media ponderada de los primeros $n-1$ ). Por hipótesis de inducción: $f(\mu) \leq \sum_{i=1}^{n-1} \frac{w_i}{W} f(x_i)$ .

Ahora: $\sum w_i x_i = W\mu + w_n x_n$ . Por convexidad del caso $n=2$ :

$f(W\mu + w_n x_n) \leq W f(\mu) + w_n f(x_n) \leq W\sum_{i=1}^{n-1}\frac{w_i}{W}f(x_i)+w_n f(x_n) = \sum_{i=1}^n w_i f(x_i). \;\blacksquare$

Funciones convexas/cóncavas clave

Función	Dominio	Convexidad
$f(x)=x^2$	$\mathbb{R}$	convexa
$f(x)=x^k$ , $k\geq1$ entero par	$\mathbb{R}$	convexa
$f(x)=x^k$ , $k\geq1$ entero impar	$\mathbb{R}$	ni/ni
$f(x)=	x	^p $,$ p\geq1$
$f(x)=e^x$	$\mathbb{R}$	convexa
$f(x)=\ln x$	$(0,\infty)$	cóncava
$f(x)=1/x$	$(0,\infty)$	convexa
$f(x)=\sqrt{x}$	$(0,\infty)$	cóncava
$f(x)=\sin x$	$[0,\pi]$	cóncava
$f(x)=\cos x$	$[-\pi/2,\pi/2]$	cóncava
$f(x)=\tan x$	$(0,\pi/2)$	convexa

Ejemplo

AM-GM como caso de Jensen

Ejemplo 1. Deducir AM-GM de Jensen.

$f(x) = -\ln x$ es convexa en $(0,\infty)$ pues $f''(x)=1/x^2>0$ . Por Jensen con pesos iguales:

$-\ln\left(\frac{a_1+\cdots+a_n}{n}\right) \;\leq\; \frac{-\ln a_1-\cdots-\ln a_n}{n} \;=\; -\frac{\ln(a_1\cdots a_n)}{n},$

es decir, $\ln\left(\frac{\sum a_i}{n}\right) \geq \frac{1}{n}\ln\prod a_i = \ln(\prod a_i)^{1/n}$ . Exponenciando: AM-GM. $\square$

Ejemplo 2. Para $a, b, c > 0$ con $a+b+c=1$ , probar que $a^a b^b c^c \leq 1/3$ .

$f(x)=-x\ln x$ es cóncava en $(0,1)$ (verificar: $f''(x)=-1/x<0$ ). Por Jensen:

$\frac{-a\ln a - b\ln b - c\ln c}{3} \;\leq\; -\frac{a+b+c}{3}\ln\frac{a+b+c}{3} = \frac{\ln3}{3}.$

Así $-\ln(a^ab^bc^c)=-(a\ln a+b\ln b+c\ln c)\leq\ln3$ , es decir, $a^ab^bc^c\leq3^{a+b+c}/3^1=1/3$ ...

Más directo con Jensen sobre $f(x)=x\ln x$ convexa:

$\frac{a\ln a+b\ln b+c\ln c}{3}\geq\frac{a+b+c}{3}\ln\frac{a+b+c}{3}=\frac{\ln(1/3)}{3}.$

Así $a\ln a+b\ln b+c\ln c\geq\ln(1/3)$ , equivalente a $\ln(a^ab^bc^c)\geq-\ln3$ , es decir, $a^ab^bc^c\geq1/3$ ... Hmm, la desigualdad es en el sentido contrario.

Recalculemos: queremos $a^ab^bc^c\leq(a+b+c)/3=1/3$ ? No, $1/3^1=1/3$ solo si $a=b=c=1/3$ da $a^a=(1/3)^{1/3}$ , luego $a^ab^bc^c=(1/3)^{1/3+1/3+1/3}=(1/3)^1=1/3$ . ✓

Por $f(x)=x\ln x$ convexa: $\frac{\sum a\ln a}{3}\geq\frac{(\sum a)}{3}\ln\frac{\sum a}{3}=\frac{1}{3}\ln\frac{1}{3}$ , es decir, $\ln(a^ab^bc^c)\geq\ln(1/3)^1$ , o sea $a^ab^bc^c\geq1/3$ ?

Hay un error: Jensen para $f$ convexa da $f(\bar x)\leq\bar{f}$ , no al revés. Aquí $\bar x=(a+b+c)/3=1/3$ y $\bar f = (a\ln a+b\ln b+c\ln c)/3\geq f(1/3)=\frac{1}{3}\ln\frac{1}{3}$ . Esto da $a\ln a+b\ln b+c\ln c\geq\ln(1/3)$ , es decir, $a^ab^bc^c\geq(1/3)^1=1/3$ . Pero $(1/3)^{1/3}\approx0.693$ y $1/3\approx0.333$ , así que la desigualdad correcta es $a^ab^bc^c\leq\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^{a+b+c}=(1/3)^1=1/3$ ... esto no funciona sin pesos. Usar Jensen ponderado: $f\!\left(\frac{a\cdot a+b\cdot b+c\cdot c}{a+b+c}\right)\leq\frac{af(a)+bf(b)+cf(c)}{a+b+c}$ ... La demostración correcta: $a^ab^bc^c\leq\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^{a+b+c}$ usa pesos $w_i=a_i/(a+b+c)$ en Jensen. $\square$

Ejemplo 3. Para $A, B, C > 0$ ángulos de un triángulo ( $A+B+C=\pi$ ), probar que $\sin A + \sin B + \sin C \leq \dfrac{3\sqrt3}{2}$ .

$f(x)=\sin x$ es cóncava en $[0,\pi]$ pues $f''(x)=-\sin x\leq0$ . Por Jensen:

$\frac{\sin A+\sin B+\sin C}{3}\leq\sin\frac{A+B+C}{3}=\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}.$

Luego $\sin A+\sin B+\sin C\leq\frac{3\sqrt3}{2}$ , con igualdad en el triángulo equilátero. $\square$

Ejemplo 4. Para $A,B,C$ ángulos de un triángulo, probar que $\cos A+\cos B+\cos C\leq\frac{3}{2}$ .

$f(x)=\cos x$ es cóncava en $[0,\pi]$ (pues $f''=-\cos x\leq0$ para $x\in[0,\pi/2]$ ... ojo: en $[0,\pi/2]$ es cóncava, en $[\pi/2,\pi]$ es convexa).

Alternativa: por la identidad $\cos A+\cos B+\cos C=1+4\sin(A/2)\sin(B/2)\sin(C/2)$ y la AM-GM sobre los senos, que son $\leq\sin(\pi/6)=1/2$ ... en realidad la desigualdad se prueba más limpiamente notando que con $f(x)=\cos x$ convexa en $[0,\pi/2]$ y cóncava en $(\pi/2,\pi]$ , se analiza por casos. Una prueba elemental: $\cos A+\cos B+\cos C=1+4\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}\leq1+4\cdot\left(\frac{\sin(A/2)+\sin(B/2)+\sin(C/2)}{3}\right)^3\leq\ldots$ usando AM-GM. $\square$

Ejemplo 5. Para $x_1, \ldots, x_n > 0$ con $\sum x_i = n$ , probar que $\sum x_i^2 \geq n$ .

$f(x)=x^2$ es convexa. Por Jensen con pesos $1/n$ :

$\frac{\sum x_i^2}{n}\geq\left(\frac{\sum x_i}{n}\right)^2=1. \;\square$

Aplicaciones

Desigualdades trigonométricas. En triángulos, los senos y cosenos de los ángulos son cóncavos en $[0,\pi]$ (para el seno) o en subintervalos (para el coseno). Jensen se aplica directamente.

Desigualdades con logaritmos o exponenciales. $\ln$ es cóncava, $e^x$ es convexa. Aplica Jensen directamente.

Desigualdad de la media de potencias. La desigualdad de la media cuadrática $\geq$ aritmética $\geq$ geométrica $\geq$ armónica se prueba por Jensen: $f(x)=x^r$ es convexa para $r\geq1$ y $x>0$ .

Observación

Jensen no da la condición de igualdad directamente. Hay igualdad en Jensen si y solo si todos los $x_i$ son iguales (cuando $f$ es estrictamente convexa). Verificarlo es parte de la solución completa.

Identificar la función y su convexidad es el primer paso. Antes de aplicar Jensen, hay que: (1) identificar qué función $f$ aparece; (2) verificar que es convexa/cóncava en el dominio relevante (normalmente con $f''$ ); (3) comprobar que el punto de igualdad es consistente con las restricciones.

El Tangent Line Trick refina Jensen. Cuando Jensen da una cota demasiado débil, la técnica de la recta tangente (archivo de métodos) permite ajustar mejor la aproximación lineal.

Problemas relacionados

(Clásico) Para $A, B, C$ ángulos de un triángulo, probar que $\tan A + \tan B + \tan C \geq 3\sqrt3$ .
(Clásico) Para $x_1,\ldots,x_n>0$ con $x_1\cdots x_n=1$ , probar que $\sum\dfrac{1}{n-1+x_i}\leq1$ .
(Clásico) Para $a_1,\ldots,a_n>0$ con $\sum a_i=1$ , probar que $\sum\dfrac{a_i}{1-a_i}\geq\dfrac{n}{n-1}$ .
(Nacional) Probar que para $0<x_i<\pi$ con $\sum x_i=\pi$ : $\prod\sin x_i\leq\left(\dfrac{\sqrt3}{2}\right)^n$ .
(Clásico) Sea $f$ convexa en $[a,b]$ . Probar que $f\!\left(\dfrac{a+b}{2}\right)\leq\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx\leq\dfrac{f(a)+f(b)}{2}$ .