Cauchy-Schwarz y forma de Engel (Titu)

Enunciado

Forma vectorial / suma de cuadrados. Para reales $a_1, \ldots, a_n$ y $b_1, \ldots, b_n$ :

$\left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right) \;\geq\; \left(\sum_{i=1}^n a_i b_i\right)^2,$

con igualdad si y solo si los vectores $(a_1,\ldots,a_n)$ y $(b_1,\ldots,b_n)$ son proporcionales, es decir, existe $\lambda$ tal que $a_i = \lambda b_i$ para todo $i$ .

Forma de Engel (Titu / Sedrakyan). Para $a_i \in \mathbb{R}$ y $b_i > 0$ :

$\frac{a_1^2}{b_1} + \frac{a_2^2}{b_2} + \cdots + \frac{a_n^2}{b_n} \;\geq\; \frac{(a_1 + a_2 + \cdots + a_n)^2}{b_1 + b_2 + \cdots + b_n},$

con igualdad si y solo si $a_1/b_1 = a_2/b_2 = \cdots = a_n/b_n$ .

Demostración

Demostración de la forma vectorial. Considera el polinomio en $t$ :

$P(t) \;=\; \sum_{i=1}^n (a_i t - b_i)^2 \;=\; \left(\sum a_i^2\right)t^2 - 2\left(\sum a_i b_i\right)t + \sum b_i^2 \;\geq\; 0.$

Como $P(t) \geq 0$ para todo real $t$ , su discriminante es $\leq 0$ :

$4\left(\sum a_i b_i\right)^2 - 4\left(\sum a_i^2\right)\left(\sum b_i^2\right) \;\leq\; 0. \qquad \blacksquare$

Deducción de la forma de Engel. Sustituye $a_i \to a_i/\sqrt{b_i}$ y $b_i \to \sqrt{b_i}$ en Cauchy-Schwarz:

$\left(\sum \frac{a_i^2}{b_i}\right)\left(\sum b_i\right) \;\geq\; \left(\sum a_i\right)^2.$

Dividiendo entre $\sum b_i > 0$ : forma de Engel. $\blacksquare$

Ejemplo

Aplicación directa

Ejemplo 1. Para $a, b, c > 0$ , probar que

$\frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{c+a} + \frac{c^2}{a+b} \;\geq\; \frac{a+b+c}{2}.$

Por la forma de Engel con $a_i = a, b, c$ y $b_i = b+c, c+a, a+b$ :

$\frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{c+a} + \frac{c^2}{a+b} \;\geq\; \frac{(a+b+c)^2}{(b+c)+(c+a)+(a+b)} \;=\; \frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)} \;=\; \frac{a+b+c}{2}. \;\square$

Ejemplo 2 (Nesbitt). Para $a, b, c > 0$ , probar que

$\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \;\geq\; \frac{3}{2}.$

Escribimos $\dfrac{a}{b+c} = \dfrac{a^2}{a(b+c)}$ . Por la forma de Engel:

$\sum \frac{a^2}{a(b+c)} \;\geq\; \frac{(a+b+c)^2}{a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)} \;=\; \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}.$

Por AM-GM: $(a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ca)$ . Así:

$\frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)} \;\geq\; \frac{3(ab+bc+ca)}{2(ab+bc+ca)} \;=\; \frac{3}{2}. \;\square$

Ejemplo 3. Para $a_1,\ldots,a_n > 0$ con $\sum a_i = 1$ , probar que $\sum \dfrac{a_i^2}{a_i + a_{i+1}} \geq \dfrac{1}{2}$ (índices cíclicos: $a_{n+1}=a_1$ ).

Por la forma de Engel:

$\sum_{i=1}^n \frac{a_i^2}{a_i+a_{i+1}} \;\geq\; \frac{(\sum a_i)^2}{\sum (a_i+a_{i+1})} \;=\; \frac{1}{2}. \;\square$

Ejemplo 4. Para $x, y, z > 0$ con $x+y+z=1$ , hallar el mínimo de $\dfrac{x^2}{y} + \dfrac{y^2}{z} + \dfrac{z^2}{x}$ .

Por la forma de Engel: $\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{z}+\dfrac{z^2}{x}\geq\dfrac{(x+y+z)^2}{y+z+x}=1$ .

El mínimo es $1$ , alcanzado cuando $x/y=y/z=z/x$ , es decir, $x=y=z=1/3$ . $\square$

Ejemplo 5. Para $a, b, c, d > 0$ con $a+b+c+d=1$ , probar que

$\frac{a^2}{a+b} + \frac{b^2}{b+c} + \frac{c^2}{c+d} + \frac{d^2}{d+a} \;\geq\; \frac{1}{2}.$

Idéntico al Ejemplo 3 con $n=4$ . Por Engel, la suma $\geq (a+b+c+d)^2/((a+b)+(b+c)+(c+d)+(d+a)) = 1/2$ . $\square$

Combinación con otras técnicas

Ejemplo 6. (IMO 2001/P2) Para $a,b,c>0$ , probar que

$\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\geq1.$

(Demostración completa en el archivo de problemas resueltos.)

Idea. Por Cauchy-Schwarz vectorial con $\alpha_i = \sqrt{a_i}$ y $\beta_i = \sqrt{a_i}\cdot(a_i^2+8b_ic_i)^{1/4}$ :

$\left(\sum\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}\right)\cdot\left(\sum a\sqrt{a^2+8bc}\right) \;\geq\; (a+b+c)^2.$

El paso clave es entonces acotar $\sum a\sqrt{a^2+8bc}\leq(a+b+c)^2$ via AM-GM. $\square$

Aplicaciones

Sumas de cocientes. La forma de Engel es ideal cuando aparece $\sum \dfrac{f(x_i)}{g(x_i)}$ donde los denominadores y numeradores tienen estructura que permite reagrupar.

Acotación de productos escalares. Si tienes $\sum a_i b_i$ y conoces $\sum a_i^2$ o $\sum b_i^2$ , Cauchy-Schwarz da una cota inmediata.

Desigualdades con raíces cuadradas. En combinación con AM-GM (como en el IMO 2001/P2), Cauchy elimina las raíces al aparecer al cuadrado.

Observación

¿Cuándo usar Engel en vez de la forma clásica? La forma de Engel es más directa cuando la desigualdad tiene la estructura $\sum \frac{(\text{lineal})^2}{\text{positivo}} \geq \frac{(\text{suma})^2}{\text{suma de denominadores}}$ . La forma clásica es mejor cuando hay un producto de sumas.

La condición de igualdad es la clave para elegir los términos. En AM-GM, la igualdad ocurre cuando todos los sumandos son iguales. En la forma de Engel, ocurre cuando $a_1/b_1=\cdots=a_n/b_n$ . Conocer esto de antemano (evaluando en el caso de igualdad esperado) permite deducir qué agrupación elegir.

La identidad de Lagrange. La prueba por discriminante oculta la identidad exacta:

$\left(\sum a_i^2\right)\left(\sum b_i^2\right) - \left(\sum a_i b_i\right)^2 \;=\; \sum_{i<j}(a_i b_j - a_j b_i)^2 \;\geq\; 0.$

Esta identidad explica cuándo hay igualdad y a veces es más útil que Cauchy directamente.

Problemas relacionados

(Clásico) Para $a,b,c>0$ con $a+b+c=1$ , probar que $\dfrac{a^2}{1-a}+\dfrac{b^2}{1-b}+\dfrac{c^2}{1-c}\geq\dfrac{1}{2}$ .
(Clásico, Cauchy vectorial) Para $a_1,\ldots,a_n, b_1,\ldots,b_n>0$ , probar la desigualdad $\left(\sum\sqrt{a_i b_i}\right)^2\leq\left(\sum a_i\right)\left(\sum b_i\right)$ .
(OME) Para $a,b,c>0$ con $a^2+b^2+c^2=1$ , hallar el mínimo de $\dfrac{a}{1-a^2}+\dfrac{b}{1-b^2}+\dfrac{c}{1-c^2}$ .
(IMO 1995/P2, adaptado) Para $a,b,c>0$ con $abc=1$ , probar que $\dfrac{1}{a^3(b+c)}+\dfrac{1}{b^3(c+a)}+\dfrac{1}{c^3(a+b)}\geq\dfrac{3}{2}$ . (Ver problemas resueltos.)
(Clásico) Para reales $x_1,\ldots,x_n$ con $\sum x_i = 0$ y $\sum x_i^2 = 1$ , acotar $\max_i x_i$ usando Cauchy-Schwarz.