Desigualdad AM-GM · Olimpiada Matemática

Enunciado

Caso $n = 2$ . Para $a, b > 0$ :

$\frac{a + b}{2} \;\geq\; \sqrt{ab},$

con igualdad si y solo si $a = b$ .

Caso general. Para $a_1, a_2, \ldots, a_n > 0$ :

$\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \;\geq\; \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n},$

con igualdad si y solo si $a_1 = a_2 = \cdots = a_n$ .

Forma ponderada. Para $a_i > 0$ y pesos $w_i > 0$ con $\sum w_i = 1$ :

$w_1 a_1 + w_2 a_2 + \cdots + w_n a_n \;\geq\; a_1^{w_1} a_2^{w_2} \cdots a_n^{w_n}.$

Demostración (caso

n = 2

)

La demostración más corta parte de que el cuadrado de cualquier real es no negativo:

$0 \;\leq\; (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \;=\; a - 2\sqrt{ab} + b.$

Reorganizando: $a + b \geq 2\sqrt{ab}$ , es decir, $\dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$ . $\blacksquare$

La igualdad se da exactamente cuando $\sqrt{a} = \sqrt{b}$ , es decir, cuando $a = b$ .

Para $n = 3$ : equivalentemente $(a+b+c)^3 \geq 27abc$ , que se demuestra por la desigualdad del caso $n=2$ aplicada iterativamente (ver el archivo de demostraciones para la versión general por inducción de Cauchy).

Ejemplo

Básicos

Ejemplo 1. Probar que $x + \dfrac{1}{x} \geq 2$ para todo $x > 0$ .

Por AM-GM con $a = x$ y $b = 1/x$ :

$x + \frac{1}{x} \;=\; a + b \;\geq\; 2\sqrt{ab} \;=\; 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} \;=\; 2.$

Igualdad si y solo si $x = 1/x$ , es decir, $x = 1$ . $\square$

Ejemplo 2. Para $a, b > 0$ , probar que $a^2 + b^2 \geq 2ab$ .

Por AM-GM: $\dfrac{a^2 + b^2}{2} \geq \sqrt{a^2 b^2} = ab$ . $\square$

Ejemplo 3. Para $a, b, c > 0$ , probar que $a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ca$ .

Usamos AM-GM tres veces:

$a^2 + b^2 \geq 2ab, \quad b^2 + c^2 \geq 2bc, \quad c^2 + a^2 \geq 2ca.$

Sumando y dividiendo entre $2$ : $a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ca$ . $\square$

Optimización bajo restricciones

Ejemplo 4. Hallar el valor máximo de $xy$ dados $x, y > 0$ con $x + y = s$ fijo.

Por AM-GM: $s = x + y \geq 2\sqrt{xy}$ , así $\sqrt{xy} \leq s/2$ y $xy \leq s^2/4$ .

El máximo $s^2/4$ se alcanza cuando $x = y = s/2$ . $\square$

Ejemplo 5. Dados $x, y, z > 0$ con $xyz = 1$ , hallar el mínimo de $x + y + z$ .

Por AM-GM: $\dfrac{x+y+z}{3} \geq \sqrt[3]{xyz} = 1$ , así $x + y + z \geq 3$ .

El mínimo $3$ se alcanza cuando $x = y = z = 1$ . $\square$

Ejemplo 6. Mínimo de $f(x) = \dfrac{x^2 + 2}{x}$ para $x > 0$ .

$f(x) = x + \frac{2}{x} \;\geq\; 2\sqrt{x \cdot \frac{2}{x}} \;=\; 2\sqrt{2}.$

Igualdad cuando $x = 2/x$ , es decir, $x = \sqrt{2}$ . Mínimo: $2\sqrt{2}$ . $\square$

Desigualdades simétricas

Ejemplo 7. Para $a, b, c > 0$ , probar que

$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \;\geq\; 3.$

Por AM-GM con tres términos: $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} \geq 3\sqrt[3]{\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{b}{c} \cdot \dfrac{c}{a}} = 3\sqrt[3]{1} = 3$ . $\square$

Ejemplo 8. Dado $a + b + c = 1$ con $a, b, c > 0$ , probar que $(1-a)(1-b)(1-c) \geq 8abc$ .

Observa que $1 - a = b + c$ , $1 - b = c + a$ , $1-c = a+b$ . Por AM-GM:

$b + c \geq 2\sqrt{bc}, \quad c + a \geq 2\sqrt{ca}, \quad a + b \geq 2\sqrt{ab}.$

Multiplicando: $(b+c)(c+a)(a+b) \geq 8\sqrt{bc}\sqrt{ca}\sqrt{ab} = 8abc$ . $\square$

Aplicaciones

1. Optimización con producto fijo o suma fija. Si el producto $a_1 \cdots a_n = P$ es fijo, la suma $a_1+\cdots+a_n$ es mínima cuando todos son iguales: $a_i = P^{1/n}$ . Y si la suma es fija, el producto es máximo cuando todos son iguales.

2. Minorizar denominadores. Para probar que una suma de fracciones es $\geq c$ , a veces conviene aplicar AM-GM en el denominador para simplificar.

3. Desigualdades cíclicas de grado homogéneo. En desigualdades como $\sum a^2/b \geq \sum a$ , la técnica estándar es agrupar términos y aplicar AM-GM a cada grupo.

4. Ingeniería de términos. Para maximizar el uso de AM-GM, a veces conviene escribir un término como suma de varios iguales. Por ejemplo, $\frac{a^3}{3} + \frac{a^3}{3} + \frac{a^3}{3} + b^3 \geq 4 \cdot \sqrt[4]{\frac{a^9 b^3}{27}}$ — la igualdad se calibra para que los tres sumandos coincidan con el cuarto.

Observación

El error más común: no verificar positividad. AM-GM requiere que todos los términos sean estrictamente positivos. La desigualdad $\dfrac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$ no tiene sentido si $a$ o $b$ son negativos (la raíz deja de ser real). En problemas donde las variables pueden ser negativas, hay que justificar la positividad antes de aplicar AM-GM, o usar otra desigualdad.

La condición de igualdad es información. Siempre que se aplica AM-GM y se afirma que se alcanza la igualdad, hay que verificar que la condición ( $a_1=a_2=\cdots=a_n$ ) es compatible con el resto de las restricciones del problema. Si no es compatible, la igualdad nunca se alcanza y la cota es estricta.

AM-GM ponderada para exponentes naturales. La forma ponderada con pesos racionales se reduce a la versión ordinaria: basta repetir cada $a_i$ tantas veces como indica el numerador del peso. Por ejemplo, con pesos $1/3$ y $2/3$ sobre $a$ y $b$ : $\frac{a}{3}+\frac{2b}{3}\geq a^{1/3}b^{2/3}$ equivale a AM-GM sobre $\{a/3, b/3, b/3\}$ ... no directamente, pero sí vía la desigualdad $a+b+b\geq3\sqrt[3]{ab^2}$ .

Problemas relacionados

(Clásico) Para $a, b > 0$ , probar que $\dfrac{a^2}{b} + \dfrac{b^2}{a} \geq a + b$ .
(Clásico) Hallar el mínimo de $\left(a+\dfrac{1}{b}\right)\left(b+\dfrac{1}{c}\right)\left(c+\dfrac{1}{a}\right)$ para $a,b,c>0$ .
(Clásico) Dados $a,b,c>0$ con $a+b+c=3$ , probar que $a^2b+b^2c+c^2a\leq4$ .
(OMG-nivel) Para $a,b,c>0$ con $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=3$ , demostrar que $\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\geq\dfrac{a^2+b^2+c^2}{9}$ .
(Clásico) Probar que para $n$ entero positivo y $x_1,\ldots,x_n>0$ : $(x_1+x_2+\cdots+x_n)\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}\right)\geq n^2.$