Ecuaciones funcionales: tipos principales

Tipos principales

Ecuación de Cauchy aditiva

$f(x + y) = f(x) + f(y) \quad \forall x, y.$

Sobre $\mathbb{Q}$ : la única solución es $f(x) = cx$ para alguna constante $c = f(1)$ .

Sobre $\mathbb{R}$ con condición de regularidad (monótona, acotada en un intervalo, o medible): la única solución es también $f(x) = cx$ .

Sobre $\mathbb{R}$ sin regularidad: existen soluciones patológicas no medibles (construidas con la base de Hamel), pero estas nunca aparecen en olimpiadas.

Ecuación de Cauchy multiplicativa

$f(xy) = f(x)f(y) \quad \forall x, y > 0.$

Soluciones sobre $\mathbb{R}^+$ : $f(x) = x^c$ para algún $c \in \mathbb{R}$ , o $f \equiv 0$ .

Ecuación de Jensen funcional

$f\!\left(\frac{x+y}{2}\right) = \frac{f(x)+f(y)}{2} \quad \forall x, y.$

Equivalente a la aditividad: toda solución continua es $f(x) = ax + b$ .

Otras formas habituales

Nombre	Ecuación
Cauchy cuadrática	$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)+2f(y)$
Gompertz	$f(xy)=f(x)+f(y)$
Pexider	$f(x+y)=g(x)+h(y)$
D'Alembert	$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)$

Estrategia general

Véase el archivo de métodos para la estrategia detallada. Aquí el esquema básico:

Evaluar en puntos especiales ( $x=0$ , $y=0$ , $x=y$ , $y=-x$ , $x=1$ , ...) para determinar $f(0)$ , $f(1)$ , simetría, etc.
Inducción para extender de $\mathbb{N}$ a $\mathbb{Z}$ a $\mathbb{Q}$ .
Regularidad (monotonía, continuidad) para pasar de $\mathbb{Q}$ a $\mathbb{R}$ .
Conjeturar la forma de $f$ basándose en los casos hallados.
Verificar que la función hallada satisface efectivamente la ecuación.

Enunciado y resolución: ecuación de Cauchy sobre

Q

Teorema. Si $f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}$ satisface $f(x+y)=f(x)+f(y)$ para todos $x,y\in\mathbb{Q}$ , entonces $f(x)=cx$ para $c=f(1)$ .

Demostración.

Paso 1: $f(0)=0$ . Sustituir $x=y=0$ : $f(0)=2f(0)$ , así $f(0)=0$ .

Paso 2: $f(-x)=-f(x)$ . Sustituir $y=-x$ : $0=f(0)=f(x)+f(-x)$ , así $f(-x)=-f(x)$ .

Paso 3: $f(n)=nf(1)$ para $n\in\mathbb{N}$ . Por inducción: $f(n)=f((n-1)+1)=f(n-1)+f(1)$ . Caso base $n=1$ trivial.

Paso 4: $f(n)=nf(1)$ para $n\in\mathbb{Z}$ . Por el Paso 2: $f(-n)=-f(n)=-nf(1)$ .

Paso 5: $f(p/q)=\dfrac{p}{q}f(1)$ para $p/q\in\mathbb{Q}$ . Tenemos $qf(p/q)=f(q\cdot p/q)=f(p+p/q+\cdots)$ ... más limpiamente: $f(p/q+p/q+\cdots+p/q)=q\cdot f(p/q)=f(p)=pf(1)$ . Así $f(p/q)=\frac{p}{q}f(1)$ .

Conclusión: $f(x)=cx$ con $c=f(1)$ . $\blacksquare$

Ejemplo

Sustituciones que dan información inmediata

Ejemplo 1. Sea $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ con $f(x+y)+f(x-y)=2f(x)\cos y$ para todos $x,y\in\mathbb{R}$ .

$x=y=0$ : $2f(0)=2f(0)\cos0=2f(0)$ . Sin información.
$x=0$ : $f(y)+f(-y)=2f(0)\cos y$ .
$y=\pi$ : $f(x+\pi)+f(x-\pi)=-2f(x)$ .

Si $f$ es continua: soluciones $f(x)=A\sin x+B\cos x$ (verificar sustituyendo). $\square$

Ejemplo 2. Hallar todas las $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ continuas con $f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy$ .

Definir $g(x)=f(x)-x^2$ . Entonces:

$g(x+y)+(x+y)^2=g(x)+x^2+g(y)+y^2+2xy,$

$g(x+y)+x^2+2xy+y^2=g(x)+g(y)+x^2+y^2+2xy,$

$g(x+y)=g(x)+g(y).$

Así $g$ es una función de Cauchy continua: $g(x)=cx$ . Por tanto $f(x)=x^2+cx$ . $\square$

Ejemplo 3. Hallar todas $f:\mathbb{R}_{>0}\to\mathbb{R}_{>0}$ con $f(xy)=f(x)f(y)$ y $f$ continua.

$x=y=1$ : $f(1)=f(1)^2$ , así $f(1)=1$ (pues $f(1)>0$ ).
$y=1/x$ : $f(1)=f(x)f(1/x)=1$ , así $f(1/x)=1/f(x)$ .
Sea $g(x)=\ln f(e^x)$ . Entonces $g(x+y)=g(x)+g(y)$ (Cauchy aditiva).

Si $f$ es continua, $g$ es continua, así $g(x)=cx$ , es decir, $f(e^x)=e^{cx}$ , o sea $f(t)=t^c$ para $t>0$ . $\square$

Ejemplo 4. (IMO 2010/P1 — bosquejo) Hallar todas $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ con $f(\lfloor x\rfloor y)=f(x)\lfloor f(y)\rfloor$ .

(Véase el archivo de problemas resueltos para la solución completa.)

Sustituciones iniciales:

$x\in[0,1)$ : $\lfloor x\rfloor=0$ , así $f(0)=f(x)\lfloor f(y)\rfloor$ para todo $x\in[0,1)$ , $y\in\mathbb{R}$ .
Esto implica que o bien $f\equiv0$ , o bien $\lfloor f(y)\rfloor$ es constante y $f$ es constante en $[0,1)$ .
Las soluciones son $f\equiv0$ y $f\equiv c$ con $c\in[1,2)$ . $\square$

Ejemplo 5. Hallar todas $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ con $f(f(x))=x$ para todo $x$ (involución) y $f$ continua.

$f\circ f=\text{id}$ implica $f$ es biyectiva. Si $f$ es continua y biyectiva en $\mathbb{R}$ , es monótona. Si $f$ es creciente: $f(f(x))=x$ y $f$ creciente implican que el único punto fijo de $f\circ f$ es el punto fijo de $f$ . Así $f(x)=x$ o bien... en realidad con $f$ continua y $f(f(x))=x$ : $f$ es una reflexión, de la forma $f(x)=a-x$ para algún $a\in\mathbb{R}$ .

Verificación: $f(f(x))=a-(a-x)=x$ ✓. Son todas las soluciones continuas. $\square$

Observación

Toda ecuación funcional de olimpiada tiene "la respuesta más simple" como solución. El paso de verificación consiste en comprobar que la función candidata (obtenida por inducción/sustituciones) realmente satisface la ecuación. No se puede omitir.

La condición sobre el dominio y codominio importa. $f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}$ con Cauchy tiene solo soluciones lineales. $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ con Cauchy sin condición adicional puede tener soluciones patológicas. En olimpiada, siempre se especifica el dominio y a veces se añade monotonía o continuidad para excluir soluciones patológicas.

Las soluciones constantes son una trampa frecuente. Siempre hay que verificar si $f\equiv c$ (constante) satisface la ecuación y qué valores de $c$ son válidos.

La función cero es siempre candidata. $f\equiv0$ satisface la ecuación de Cauchy, la multiplicativa, y muchas otras. A veces la ecuación fuerza $f\not\equiv0$ (si hay una condición adicional como $f(1)=1$ ).

Problemas relacionados

(Clásico, iniciación) Hallar todas $f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}$ con $f(x+y)=f(x)+f(y)$ y $f(1)=3$ . (Ver guiado.)
(Clásico) Hallar todas $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ con $f(x^2+y^2)=f(x)^2+f(y)^2$ .
(Nacional) Hallar todas $f:\mathbb{R}_{>0}\to\mathbb{R}_{>0}$ con $f(x+y)=f(x)+f(y)$ y $f(xy)=f(x)f(y)$ .
(IMO 2010/P1) Hallar todas $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ con $f(\lfloor x\rfloor y)=f(x)\lfloor f(y)\rfloor$ .
(Clásico) Hallar todas $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ con $f(xf(y))=yf(x)$ para todos $x,y$ .