Propiedades de funciones: inyectividad, sobreyectividad y monotonía

Una función $f: A \to B$ asigna a cada elemento $x\in A$ exactamente un elemento $f(x)\in B$.

• $A$ es el dominio de $f$.
• $B$ es el codominio.
• La imagen de $f$ es $\text{Im}(f)=\{f(x):x\in A\}\subseteq B$.

En olimpiada, los dominios más frecuentes son $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{R}^+$.

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Definición. $f:A\to B$ es inyectiva (o uno-a-uno) si elementos distintos del dominio tienen imágenes distintas:

$\boxed{f(a) = f(b) \implies a = b.}$

Equivalentemente: $a\neq b\implies f(a)\neq f(b)$.

Cómo probarlo en una ecuación funcional. Suponer $f(a)=f(b)$ y deducir $a=b$ usando la ecuación funcional.

Ejemplos

Ejemplo 1. $f(x)=2x+1$ es inyectiva: $2a+1=2b+1\Rightarrow a=b$.

Ejemplo 2. $f(x)=x^2$ no es inyectiva sobre $\mathbb{R}$: $f(2)=f(-2)=4$ pero $2\neq-2$.

Ejemplo 3 (EF). Sea $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ con $f(x+f(y))=f(x)+y$ para todos $x,y$. Probar que $f$ es inyectiva.

Suponer $f(a)=f(b)$. Evaluar en $y=a$: $f(x+f(a))=f(x)+a$. Evaluar en $y=b$: $f(x+f(b))=f(x)+b$. Como $f(a)=f(b)$: el lado izquierdo es igual en ambos casos, luego $f(x)+a=f(x)+b$, así $a=b$. $\square$

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Definición. $f:A\to B$ es sobreyectiva (o sobre) si todo elemento del codominio es imagen de algún elemento del dominio:

$\boxed{\forall\, y\in B,\;\exists\, x\in A:\; f(x)=y.}$

Equivalentemente: $\text{Im}(f)=B$.

Cómo probarlo en una ecuación funcional. Fijado un $c$ arbitrario, encontrar un $x$ tal que $f(x)=c$ (usando la ecuación para despejar $x$).

Ejemplos

Ejemplo 1. $f(x)=2x+1:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es sobreyectiva: dado $y$, tomar $x=(y-1)/2$.

Ejemplo 2. $f(x)=x^2:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ no es sobreyectiva: $-1$ no es imagen de ningún real.

Ejemplo 3 (EF). Sea $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ con $f(x+f(y))=f(x)+y$. Probar que $f$ es sobreyectiva.

Fijado $c\in\mathbb{R}$. Tomar $x=0$: $f(f(y))=f(0)+y$. Para que $f(z)=c$, necesitamos $z$ con $f(0)+y=c$ para $z=f(y)$... Más directo: $f(f(y))=f(0)+y$ da que $f(f(y))-f(0)=y$, que es biyectivo en $y$. Así la imagen de $f\circ f$ es todo $\mathbb{R}$. En particular, para cualquier $c$, $f(f(y_0))=c$ para algún $y_0$, luego $c$ es imagen de $f(y_0)$ bajo $f$. $\square$

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Definición. $f$ es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.

Una función biyectiva tiene función inversa $f^{-1}:B\to A$ tal que $f(f^{-1}(y))=y$ y $f^{-1}(f(x))=x$.

En olimpiada: probar que una función es biyectiva permite "despejar" la variable dentro de $f$. Si $f(g(x))=h(x)$ y $f$ es biyectiva, entonces $g(x)=f^{-1}(h(x))$.

Ejemplo

EF: Si $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ con $f(x+f(y))=f(x)+y$ es biyectiva, entonces existe $f^{-1}$, y $f(f(y))=y+f(0)$ da que $f$ "casi" es involutiva.

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Definición. $f:A\to\mathbb{R}$ (con $A\subseteq\mathbb{R}$) es:

• Creciente si $a<b\Rightarrow f(a)<f(b)$.
• No decreciente si $a<b\Rightarrow f(a)\leq f(b)$.
• Decreciente si $a<b\Rightarrow f(a)>f(b)$.
• No creciente si $a<b\Rightarrow f(a)\geq f(b)$.

Creciente o decreciente = estrictamente monótona.

Propiedad clave. Toda función estrictamente monótona es inyectiva.

Demostración. Si $f$ es creciente y $a\neq b$, digamos $a<b$: entonces $f(a)<f(b)$, luego $f(a)\neq f(b)$. $\square$

Uso en olimpiada. En algunos problemas de EF, se pide que $f$ sea monótona, o se deduce monotonía de la ecuación. Monotonía + EF sobre $\mathbb{Q}$ extiende la solución a $\mathbb{R}$ por densidad.

Ejemplo

Probar que $f(x)=x^3$ es creciente.

Si $a<b$: $b^3-a^3=(b-a)(b^2+ab+a^2)$. El factor $b-a>0$. El factor $b^2+ab+a^2=(a+b/2)^2+3b^2/4\geq0$. Si $a^2+ab+b^2=0$: solo posible con $a=b=0$, pero $a\neq b$. Así $b^3-a^3>0$. $\square$

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Definición. $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es:

• Par si $f(-x)=f(x)$ para todo $x$. (Simétrica respecto al eje $y$.)
• Impar si $f(-x)=-f(x)$ para todo $x$. (Simétrica respecto al origen.)

Propiedad. Si $f$ es impar: $f(0)=0$ (sustituir $x=0$: $f(0)=-f(0)$, luego $f(0)=0$).

En EF. La sustitución $y\to-y$ o $x\to-x$ en la ecuación funcional revela si $f$ es par o impar.

Ejemplo

Sea $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ con $f(x-y)=f(x)f(y)-f(y)+1$. Hallar $f(0)$.

$x=y=0$: $f(0)=f(0)^2-f(0)+1$, luego $f(0)^2-2f(0)+1=0$, así $(f(0)-1)^2=0$, $f(0)=1$.

Determinar si $f$ es par. $x=0$: $f(-y)=f(0)f(y)-f(y)+1=f(y)-f(y)+1=1$ para todo $y$. Luego $f\equiv1$. (La paridad es un concepto que se verifica después de hallar la solución.)

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$f$ está acotada superiormente si existe $M$ con $f(x)\leq M$ para todo $x$.

$f$ está acotada inferiormente si existe $m$ con $f(x)\geq m$ para todo $x$.

En EF. La acotación a veces se puede deducir de la ecuación. Si se deduce que $f$ es acotada y satisface Cauchy, la solución es $f(x)=cx$.

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Dado $f(g(x,y))=h(x,y)$, los primeros pasos son:

1. Hallar $f(0)$: sustituir $x=y=0$.
2. Hallar $f(-x)$: sustituir $y\to-x$ o similar.
3. Probar inyectividad o sobreyectividad según lo que permita la ecuación.
4. Deducir monotonía si hay condición adicional.
5. Extender de $\mathbb{N}$ a $\mathbb{Z}$ a $\mathbb{Q}$ a $\mathbb{R}$.

Ejemplo completo

Hallar todas $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ con $f(f(x))=x+1$.

Paso 1: $f(f(0))=1$. Sea $a=f(0)$: $f(a)=1$.

Paso 2: Aplicar $f$ a ambos lados de $f(f(x))=x+1$: $f(f(f(x)))=f(x+1)$. Pero también $f(f(f(x)))=f(x)+1$ (usando la ecuación con $f(x)$ en lugar de $x$). Así $f(x+1)=f(x)+1$.

Paso 3: De $f(x+1)=f(x)+1$: $f(x)=f(0)+x=a+x$. Verificar: $f(f(x))=f(a+x)=a+(a+x)=2a+x$. Esto debe ser $x+1$, luego $2a=1$, $a=1/2$.

Solución: $f(x)=x+1/2$.

Verificar: $f(f(x))=f(x+1/2)=(x+1/2)+1/2=x+1$. ✓ $\square$

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Propiedad	Definición	Consecuencia
Inyectiva	$f(a)=f(b)\Rightarrow a=b$	Permite "cancelar" $f$
Sobreyectiva	$\forall y\exists x: f(x)=y$	Permite "despejar" argumentos
Biyectiva	Inyectiva + sobreyectiva	Existe $f^{-1}$
Creciente	$a<b\Rightarrow f(a)<f(b)$	Es inyectiva; extensible a $\mathbb{R}$
Par	$f(-x)=f(x)$	$f(0)$ libre; paridad en cálculos
Impar	$f(-x)=-f(x)$	$f(0)=0$ obligatoriamente
Acotada	$	f(x)