Identidades algebraicas fundamentales

$\boxed{(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2}$

$\boxed{(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2}$

Consecuencias inmediatas:

• $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$
• $(a+b)^2 + (a-b)^2 = 2(a^2+b^2)$
• $a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab = (a-b)^2 + 2ab$

Completar el cuadrado. Para $ax^2+bx+c$:

$ax^2+bx+c = a\!\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a}.$

Útil para encontrar el mínimo/máximo de cuadráticas y para demostrar $ax^2+bx+c\geq0$.

Ejemplo

Demostrar que $x^2-6x+10>0$ para todo $x\in\mathbb{R}$.

$x^2-6x+10 = (x-3)^2+1 \geq 1 > 0. \;\square$

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$\boxed{a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)}$

Es la identidad de factorización más usada. En olimpiada aparece al factorizar números, al simplificar radicales, y al demostrar divisibilidad.

Ejemplos

Ejemplo 1. Demostrar que $n^2-1=(n-1)(n+1)$ es par para todo entero $n$.

Si $n$ es par: $n-1$ y $n+1$ son impares, pero su producto se analiza como sigue. Si $n$ es impar: $n-1$ y $n+1$ son ambos pares, luego $(n-1)(n+1)$ es divisible por $4$. En cualquier caso es par. $\square$

Ejemplo 2. Simplificar $\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$.

Multiplicar arriba y abajo por $\sqrt{5}+\sqrt{3}$:

$\frac{(\sqrt5+\sqrt3)^2}{(\sqrt5)^2-(\sqrt3)^2} = \frac{5+2\sqrt{15}+3}{2} = 4+\sqrt{15}.$

Ejemplo 3. Probar que $97^2-3^2=94\cdot100=9400$.

$97^2-3^2=(97-3)(97+3)=94\cdot100$. (Útil para cálculo mental.)

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$\boxed{(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3}$

$\boxed{(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3}$

Reorganizado:

$a^3+b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b), \qquad a^3-b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b).$

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$\boxed{a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)}$

$\boxed{a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)}$

Cómo recordarlas. La suma de cubos factoriza con $(a+b)$ y el trinomio $a^2-ab+b^2$; la diferencia con $(a-b)$ y $a^2+ab+b^2$. El signo del término medio del trinomio es siempre opuesto al signo de la fórmula original.

Ejemplos

Ejemplo 1. Factorizar $8x^3+27$.

$8x^3+27=(2x)^3+3^3=(2x+3)(4x^2-6x+9).$ $\square$

Ejemplo 2. Demostrar que $n^3-n = (n-1)n(n+1)$ es divisible por $6$ para todo entero $n$.

$n^3-n=(n-1)n(n+1)$: producto de tres consecutivos. Entre tres consecutivos hay al menos un par y uno divisible por $3$, luego el producto es divisible por $2\cdot3=6$. $\square$

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$\boxed{a^n-b^n = (a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1})}$

Para $n$ impar, también:

$a^n+b^n = (a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-\cdots+b^{n-1}).$

Consecuencia directa: $(a-b)\mid (a^n-b^n)$ para todo $n\geq1$.

En olimpiada: Si $a\equiv b\pmod{m}$, entonces $m\mid (a-b)$, luego $m\mid(a^n-b^n)$.

Ejemplo

Demostrar que $3^{100}-1$ es divisible por $2$.

$3^{100}-1^{100}=(3-1)(\ldots)=2\cdot(\ldots)$. $\square$ (Trivial. Con $n=2$: $9-1=8=2^3$; con $n=3$: $27-1=26=2\cdot13$.)

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$\boxed{(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}$

Reorganizado: $a^2+b^2+c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ca)$.

Esta es la relación entre la suma de cuadrados ($p_2$) y los simétricos elementales $e_1, e_2$ para tres variables.

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$\boxed{(a+b+c)^3 = a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)}$

Una forma equivalente y muy útil:

$a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca).$

Nótese que $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca = \tfrac{1}{2}[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]\geq0$.

Corolario. $a^3+b^3+c^3\geq3abc$ para $a,b,c\geq0$, con igualdad iff $a=b=c$ o $a+b+c=0$.

Ejemplo

Si $a+b+c=0$, demostrar que $a^3+b^3+c^3=3abc$.

De la identidad: $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(\ldots)=0\cdot(\ldots)=0$. $\square$

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$\boxed{a^4+4b^4 = (a^2+2b^2+2ab)(a^2+2b^2-2ab)}$

Demostración. $a^4+4b^4=(a^2+2b^2)^2-(2ab)^2$, diferencia de cuadrados. $\square$

Uso principal. Factorizar expresiones de la forma $n^4+4^k$ en problemas de divisibilidad. Por ejemplo, $n^4+4 = (n^2+2+2n)(n^2+2-2n)$ con $b=1$.

Ejemplo

Probar que $n^4+4$ es compuesto para todo entero $n>1$.

$n^4+4 = (n^2+2n+2)(n^2-2n+2)$. Para $n>1$: $n^2-2n+2=(n-1)^2+1\geq2$ y $n^2+2n+2=(n+1)^2+1>n^2-2n+2$. Ambos factores son $>1$. $\square$

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Cuarto binomio cuadrado:

$a^2+b^2+c^2+d^2+ab+bc+cd+da+ac+bd = \frac{(a+b+c+d)^2+a^2+b^2+c^2+d^2}{2}.$

(Menos memorizable; aparece en algunas olimpiadas.)

Identidad de Fibonacci:

$(a^2+b^2)(c^2+d^2) = (ac-bd)^2+(ad+bc)^2 = (ac+bd)^2+(ad-bc)^2.$

Demuestra que el producto de dos sumas de dos cuadrados es también suma de dos cuadrados.

Identidad de Cauchy-Lagrange (suma de cuadrados en dos dimensiones):

$(a^2+b^2)(c^2+d^2) - (ac+bd)^2 = (ad-bc)^2.$

(Caso $n=2$ de la identidad de Lagrange para Cauchy-Schwarz.)

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Identidad	Forma factorizada
$a^2-b^2$	$(a-b)(a+b)$
$a^3-b^3$	$(a-b)(a^2+ab+b^2)$
$a^3+b^3$	$(a+b)(a^2-ab+b^2)$
$a^n-b^n$	$(a-b)(a^{n-1}+\cdots+b^{n-1})$
$a^4+4b^4$	$(a^2+2b^2+2ab)(a^2+2b^2-2ab)$
$a^3+b^3+c^3-3abc$	$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

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1. ¿Hay diferencia de cuadrados? Busca $X^2-Y^2$ directamente o tras manipular.
2. ¿Hay suma/diferencia de cubos? Busca $X^3\pm Y^3$ o completa el cubo.
3. ¿Hay $a^4+4b^4$? Sophie Germain.
4. ¿Hay una suma cíclica simétrica con tres variables? Probablemente aparece $a^3+b^3+c^3-3abc$.
5. ¿El problema pide factorizar algo de grado alto? Prueba $a^n-b^n$ con el $b$ conveniente.