IMO 2001 P2 — Desigualdad con raíces cuadradas

Paso 1: Cauchy-Schwarz. Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz (forma multiplicativa):

$\left(\sum_{\text{cyc}}\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}\right)\cdot\left(\sum_{\text{cyc}}a\sqrt{a^2+8bc}\right)\geq(a+b+c)^2.$

(Aplicar Cauchy con vectores $(\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c})$ y $(\sqrt{a}/\sqrt[4]{a^2+8bc},\sqrt{b}/\sqrt[4]{b^2+8ca},\sqrt{c}/\sqrt[4]{c^2+8ab})$... más directamente: Cauchy da $(\sum u_iv_i)^2\leq(\sum u_i^2)(\sum v_i^2)$ con $u_i=\sqrt{a_i/(a_i^2+8b_ic_i)^{1/2}}$ y $v_i=\sqrt{a_i(a_i^2+8b_ic_i)^{1/2}}$, que da el producto de las sumas $\geq(a+b+c)^2$.)

Por tanto, basta demostrar que:

\sum_{\text{cyc}} a\sqrt{a^2+8bc} \;\leq\; (a+b+c)^2. \tag{$\star$}

Paso 2: acotar $\sqrt{a^2+8bc}$. Para cualesquiera $x,t>0$, por AM-GM ($\sqrt{x}\leq(x/t+t)/2$):

$\sqrt{a^2+8bc} \;\leq\; \frac{a^2+8bc}{2(a+b+c)} + \frac{a+b+c}{2}.$

(Aquí elegimos $t=a+b+c$ en la cota AM-GM $\sqrt{x}\leq(x/t+t)/2$.)

Multiplicando por $a$:

$a\sqrt{a^2+8bc} \;\leq\; \frac{a(a^2+8bc)}{2(a+b+c)} + \frac{a(a+b+c)}{2}.$

Sumando cíclicamente (usando $\sum a(a^2+8bc)=a^3+b^3+c^3+8abc+8abc+8abc$... más precisamente):

$\sum_{\text{cyc}}a(a^2+8bc) = a^3+b^3+c^3+8(a\cdot bc+b\cdot ca+c\cdot ab)=a^3+b^3+c^3+24abc.$

Por tanto:

$\sum_{\text{cyc}}a\sqrt{a^2+8bc}\leq\frac{a^3+b^3+c^3+24abc}{2(a+b+c)}+\frac{(a+b+c)^2}{2}.$

Paso 3: verificar ($\star$). Necesitamos:

$\frac{a^3+b^3+c^3+24abc}{2(a+b+c)}+\frac{(a+b+c)^2}{2}\leq(a+b+c)^2,$

que equivale a:

$a^3+b^3+c^3+24abc\leq(a+b+c)^3.$

Paso 4: demostrar $a^3+b^3+c^3+24abc\leq(a+b+c)^3$. Expandimos:

$(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a^2b+a^2c+ab^2+b^2c+ac^2+bc^2)+6abc.$

Así la desigualdad es equivalente a:

$24abc\leq3(a^2b+a^2c+ab^2+b^2c+ac^2+bc^2)+6abc,$

$18abc\leq3(a^2b+a^2c+ab^2+b^2c+ac^2+bc^2),$

$6abc\leq a^2b+a^2c+ab^2+b^2c+ac^2+bc^2.$

Esta última desigualdad se sigue de AM-GM aplicada seis veces:

$a^2b+a^2c\geq2a^2\sqrt{bc}, \quad\text{etc.}$

O más directamente: $a^2b+ab^2\geq2a\cdot ab^{1/2}\cdot b^{1/2}\cdot?$... Mejor por AM-GM en seis términos:

$\frac{a^2b+a^2c+ab^2+b^2c+ac^2+bc^2}{6}\geq\sqrt[6]{a^{2}b\cdot a^{2}c\cdot ab^2\cdot b^2c\cdot ac^2\cdot bc^2}=\sqrt[6]{a^6b^6c^6}=abc. \;\blacksquare$

Conclusión. De los Pasos 1-4:

$\sum\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}\geq\frac{(a+b+c)^2}{\sum a\sqrt{a^2+8bc}}\geq\frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2}=1. \;\blacksquare$

Condición de igualdad. En Cauchy: igualdad cuando los vectores son proporcionales, es decir, cuando $a/(a^2+8bc)=b/(b^2+8ca)=c/(c^2+8ab)$, lo que ocurre en $a=b=c$. En AM-GM del Paso 2: igualdad cuando $a^2+8bc=t^2=(a+b+c)^2$, que con $a=b=c=t/3$ da $t^2/9+8t^2/9=t^2$ ✓. En AM-GM del Paso 4: igualdad cuando $a=b=c$. Todo consistente: igualdad iff $a=b=c$.