IMO 2010 P1 — Ecuación funcional con parte entera

Paso 1: sustitución $x\in[0,1)$

Para $x\in[0,1)$, $\lfloor x\rfloor=0$, así $f(0\cdot y)=f(x)\lfloor f(y)\rfloor$:

f(0) = f(x)\lfloor f(y)\rfloor \quad\text{para todos }x\in[0,1),\;y\in\mathbb{R}. \tag{1}

Esto es la clave: la ecuación (1) dice que $f(x)\lfloor f(y)\rfloor$ es constante (igual a $f(0)$) para $x\in[0,1)$ y $y$ arbitrario. En particular:

• $f$ es constante en $[0,1)$: denotamos este valor $\alpha=f(x)$ para $x\in[0,1)$.
• $\lfloor f(y)\rfloor$ es constante: denotamos este entero $k=\lfloor f(y)\rfloor$ para todo $y$.

Y la ecuación (1) se convierte en $f(0)=\alpha k$.

Paso 2: dos casos según $f(0)$

Caso A: $f(0)=0$. Entonces $\alpha k=0$.

• Subcase A1: $k=0$. Entonces $\lfloor f(y)\rfloor=0$ para todo $y$, es decir, $f(y)\in[0,1)$ para todo $y$. La ecuación original da $f(\lfloor x\rfloor y)=f(x)\cdot0=0$ para todo $x,y$. Tomando $x\in[1,2)$ (con $\lfloor x\rfloor=1$): $f(y)=0$ para todo $y$. Así $f\equiv0$.

• Subcase A2: $k\neq0$, es decir $k\geq1$. Entonces $\alpha=0$, esto es, $f\equiv0$ en $[0,1)$. En particular $f(0)=0$. La ecuación original con $n=\lfloor x\rfloor\geq1$ da: $f(ny)=f(x)\lfloor f(y)\rfloor \quad\text{para }x\in[n,n+1).$ Tomando $x\in[1,2)$ (i.e., $n=1$): $f(y)=f(x)\lfloor f(y)\rfloor$ para todo $y$. Ahora, si $y\in[0,1)$ entonces $f(y)=0$ (por $\alpha=0$), así $0=f(x)\cdot k$ con $k\geq1$, luego $f(x)=0$ para $x\in[1,2)$. Repitiendo con $x\in[1,2)$ fijo: $f(y)=f(x)\cdot k=0$ para todo $y$. Así $f\equiv0$.

En el Caso A, la única solución es $f\equiv0$.

Caso B: $f(0)\neq0$. Entonces $f(0)=\alpha k\neq0$, luego $\alpha\neq0$ y $k\neq0$, i.e., $k\geq1$.

Tomando $y\in[0,1)$ en (1): $\lfloor f(y)\rfloor=\lfloor\alpha\rfloor=k$. Y de (1): $f(0)=\alpha k=\alpha\lfloor\alpha\rfloor$.

Tomando $y\in[0,1)$ en (1): $f(0)=\alpha k$, pero también la ecuación original con $x=0$ ($\lfloor0\rfloor=0$) da $f(0)=f(0)\lfloor f(y)\rfloor=f(0)\cdot k$. Como $f(0)\neq0$: $k=1$.

Así $\lfloor f(y)\rfloor=1$ para todo $y$, es decir, $f(y)\in[1,2)$ para todo $y$.

En particular $\alpha\in[1,2)$, pues $f$ toma valores en $[1,2)$.

Paso 3: determinar $f$ en el Caso B

Con $\lfloor f(y)\rfloor=1$ para todo $y$, la ecuación original es:

$f(\lfloor x\rfloor y) = f(x)\cdot1 = f(x).$

Tomando $n=\lfloor x\rfloor=1$ (es decir, $x\in[1,2)$):

$f(y) = f(x) \quad\text{para todo }y\in\mathbb{R}.$

Así $f$ es constante: $f\equiv\alpha$ para algún $\alpha\in[1,2)$.

Verificación. Si $f\equiv c$ con $c\in[1,2)$: $f(\lfloor x\rfloor y)=c$ y $f(x)\lfloor f(y)\rfloor=c\cdot\lfloor c\rfloor=c\cdot1=c$. ✓

Conclusión

Las únicas soluciones son $f\equiv0$ y $f\equiv c$ para $c\in[1,2)$. $\blacksquare$