Sum of Squares (SOS) y el método uvw

Idea básica. Una expresión $P(a,b,c)\geq0$ se verifica si puede escribirse como

$P(a,b,c) = \sum_i \lambda_i Q_i(a,b,c)^2, \quad \lambda_i \geq 0, \quad Q_i \text{ polinomios},$

pues cada cuadrado es $\geq0$.

Para desigualdades simétricas en tres variables. La forma más común es:

$P = \alpha(a-b)^2 + \beta(b-c)^2 + \gamma(c-a)^2 + \text{términos cruzados no negativos}.$

Algoritmo básico. Para $P$ simétrico homogéneo de grado $d$ en $a,b,c$:

1. Escribir $P$ en función de $e_1,e_2,e_3$ (simétricos elementales).
2. Con $a+b+c=e_1$ fijo (normalizar $e_1=1$), $P$ depende de $e_2$ y $e_3$.
3. Usar las restricciones: $e_1^2\geq3e_2$ (AM-GM) y $e_1^3-4e_1e_2+9e_3\geq0$ (Schur).
4. Deducir que $P\geq0$.

Ejemplo de SOS directo. Probar $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$:

$2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) = (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \;\geq\; 0. \;\square$

Ejemplo de SOS con coeficiente. Probar $2(a^3+b^3+c^3)\geq a^2b+a^2c+ab^2+b^2c+bc^2+ca^2$:

$2(a^3+b^3+c^3)-(a^2b+a^2c+ab^2+b^2c+bc^2+ca^2)$ $= a^3-a^2b-ab^2+b^3 + b^3-b^2c-bc^2+c^3 + c^3-c^2a-ca^2+a^3 - \text{(algo)}$

Mejor: agrupar como $a(a-b)^2+b(b-c)^2+c(c-a)^2+(a-b)^2(?)$...

Factorización correcta: $(a^3+b^3-a^2b-ab^2)+(b^3+c^3-b^2c-bc^2)+(c^3+a^3-c^2a-ca^2)$

$= (a-b)^2(a+b)+(b-c)^2(b+c)+(c-a)^2(c+a) \;\geq\; 0$

(pues $a,b,c>0$ implica $a+b, b+c, c+a>0$). $\square$

Parametrización. Para $a,b,c\geq0$ reales, definir:

$u = a+b+c \;(=e_1),\quad v = \sqrt{\frac{ab+bc+ca}{3}} \;(\approx e_2^{1/2}),\quad w = \sqrt[3]{abc} \;(\approx e_3^{1/3}).$

(Variante: usar directamente $p=e_1$, $q=e_2$, $r=e_3$.)

Restricciones fundamentales. Para $a,b,c\geq0$:

$u \geq 0, \quad v \geq 0, \quad w \geq 0,$

$u^2 \geq 3\cdot3v^2 = 9v^2 \implies u \geq 3v \quad\text{(AM-GM: } e_1^2\geq3e_2\text{)},$

$3v^2 \geq 3w\cdot u \cdot\frac{1}{3}... \quad\text{(otra forma de AM-GM)},$

$uv^2 \geq w^3 \cdot 3 \quad\text{(AM-GM: }e_1e_2\geq9e_3\text{)}.$

Principio del método. Toda desigualdad simétrica en $a,b,c$ se puede escribir en términos de $u,v,w$ (o $e_1,e_2,e_3$). Para probar que $F(e_1,e_2,e_3)\geq0$ con $a,b,c\geq0$ y alguna restricción (e.g., $e_1=1$):

Fijados $e_1$ y $e_2$, el valor mínimo de $e_3$ se alcanza en la frontera del dominio de $(a,b,c)$, que corresponde a:

1. Dos variables iguales: $a=b\geq c\geq0$ (o permutaciones).
2. Una variable igual a cero: $c=0$, $a+b=e_1$, $ab=e_2$.

Esto es porque, fijadas $e_1$ y $e_2$, la función $e_3=abc$ se maximiza cuando dos variables son iguales y se minimiza en los extremos del dominio.

Algoritmo uvw:

1. Escribir la desigualdad en términos de $e_1,e_2,e_3$.
2. Fijar $e_1$ y $e_2$. La desigualdad es en $e_3$.
3. Si $F$ es lineal en $e_3$ (lo que pasa si la desigualdad es lineal en $e_3$ tras reducir), basta verificar en los extremos: $e_3=0$ (cuando $c=0$) y $e_3$ máximo (cuando dos variables son iguales).
4. Si $F$ no es lineal en $e_3$, analizar como función de $e_3$.

Ejemplo. Para $a,b,c\geq0$ con $a+b+c=3$, probar que $a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2\leq4+3abc$.

Equivalente (con $e_1=3$, $e_2=ab+bc+ca$, $e_3=abc$):

LHS: $a^2b+ab^2+\cdots = (a+b+c)(ab+bc+ca)-3abc = 3e_2-3e_3$. RHS: $4+3e_3$.

La desigualdad es: $3e_2-3e_3\leq4+3e_3$, es decir, $3e_2\leq4+6e_3$.

Por AM-GM: $e_2\leq e_1^2/3=3$. Y Schur: $e_1^3-4e_1e_2+9e_3\geq0$, con $e_1=3$: $27-12e_2+9e_3\geq0$, así $9e_3\geq12e_2-27$, es decir, $e_3\geq(4e_2-9)/3$.

Necesitamos $4+6e_3\geq3e_2$. Si $e_3\geq(4e_2-9)/3$: $4+6e_3\geq4+6(4e_2-9)/3=4+2(4e_2-9)=8e_2-14$. Necesitamos $8e_2-14\geq3e_2$, es decir, $5e_2\geq14$, o $e_2\geq14/5$. Pero $e_2$ puede ser pequeño (e.g., $a=3,b=c=0$: $e_2=0$).

Este enfoque necesita ser más cuidadoso. Veamos por uvw: con $e_1=3$ fijo, la función $F(e_2,e_3)=4+6e_3-3e_2\geq0$ es lineal en $e_3$, así basta verificarla en:

• $e_3=0$ (cuando $c=0$): $F(e_2,0)=4-3e_2\geq0$ iff $e_2\leq4/3$. Pero $c=0$, $a+b=3$, $e_2=ab\leq9/4$... y $4/3<9/4$, entonces si $ab>4/3$ con $c=0$ la desigualdad fallaría. Pero $3e_2-3\cdot0\leq4+3\cdot0$ iff $3ab\leq4$... esto falla para $a=2,b=1,c=0$: LHS$=3\cdot2=6>4$. Error: revisemos el enunciado.

(El ejemplo resulta que el enunciado no es correcto tal y como lo formulé; el punto es ilustrar el método uvw, no la desigualdad específica.)

Ejemplo correcto con uvw. Para $a,b,c\geq0$ con $a+b+c=1$, probar que $a^2b+b^2c+c^2a\leq\dfrac{4}{27}$.

Por uvw: el máximo de $f(a,b,c)=a^2b+b^2c+c^2a$ con $a+b+c=1$ se alcanza en un punto en la frontera o donde $\nabla f=\lambda\nabla g$ con $g=a+b+c-1$. El máximo es $4/27$ en $(a,b,c)=(2/3,1/3,0)$ (o cíclico). Se verifica: $(4/9)(1/3)=4/27$. ✓

Para la demostración, usar SOS o analizar casos. $\square$

Las restricciones básicas para $a,b,c\geq0$ con $e_1=p$ fijo son:

$0 \;\leq\; e_2 \;\leq\; \frac{p^2}{3}, \qquad 0 \;\leq\; e_3, \qquad e_1^3-4e_1e_2+9e_3\geq0.$

La última restricción (Schur) da $e_3\geq(4pe_2-p^3)/9$ cuando el Schur es la restricción activa. El dominio de $(e_2,e_3)$ compatible con $a,b,c\geq0$ es la región delimitada por estas tres curvas.

Para probar $F(p,e_2,e_3)\geq0$ con $p$ fijo:

• Si $F$ es creciente en $e_3$: mínimo en la frontera inferior de $e_3$ (Schur).
• Si $F$ es decreciente en $e_3$: mínimo en $e_3=0$.
• Si $F$ no es monótona: analizar como función de $e_3$ en el intervalo permitido.