Colección de desigualdades

1. Para $a, b > 0$, demostrar que $a + b \geq 2\sqrt{ab}$.

2. Para $a, b, c > 0$, demostrar que $a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ca$.

Hint: escribir como suma de cuadrados.

3. Para $a, b > 0$, demostrar que $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \geq 2$.

4. Para $a, b, c > 0$, demostrar que $(a+b)(b+c)(c+a) \geq 8abc$.

5. Para $x, y, z > 0$ con $xyz = 1$, demostrar que $x + y + z \geq 3$.

6. (Clásico) Para $a, b, c > 0$, demostrar que

$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \geq \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}.$

(La triple desigualdad entre media aritmética, geométrica y armónica.)

7. (OMG 2018/P1) Sean $a, b \geq 1$ naturales. Sea $D = \gcd(a,b)$ y $M = \text{lcm}(a,b)$. Demostrar que $D^2 + M^2 \geq a^2 + b^2$.

Hint: escribir $a = Dx$, $b = Dy$ con $\gcd(x,y)=1$; entonces $M = Dxy$.

8. Para $a, b, c > 0$, demostrar la desigualdad de Nesbitt:

$\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}.$

Hint: sumar 1 a cada fracción y aplicar AM-GM, o usar Cauchy-Engel.

9. Para $a, b, c > 0$, demostrar que $a^3 + b^3 + c^3 \geq 3abc$.

Hint: AM-GM en tres términos, o factorizar $a^3+b^3+c^3-3abc$.

10. Para $a, b, c > 0$, demostrar que $a^2b + b^2c + c^2a + ab^2 + bc^2 + ca^2 \geq 6abc$.

11. Para $a, b, c > 0$ con $a + b + c = 1$, demostrar que

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 9.$

12. (Cauchy-Schwarz) Para $a, b, c, d > 0$, demostrar que

$\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{d} + \frac{d^2}{a} \geq a + b + c + d.$

13. Para $x, y, z > 0$ con $x^2 + y^2 + z^2 = 1$, demostrar que

$\frac{x}{1-x^2} + \frac{y}{1-y^2} + \frac{z}{1-z^2} \geq \frac{3\sqrt{3}}{2}.$

Hint: $1-x^2=y^2+z^2\geq2yz$, luego usa AM-GM para acotar $x/2yz$ y $\sum x/yz$.

14. (IMO 1995/P2) Para $a, b, c > 0$ con $abc = 1$, demostrar que

$\frac{1}{a^3(b+c)} + \frac{1}{b^3(c+a)} + \frac{1}{c^3(a+b)} \geq \frac{3}{2}.$

(Resolución completa disponible en Problemas resueltos.)

15. (Jensen) Para $a, b, c > 0$ con $a + b + c = 3$, demostrar que

$a^a \cdot b^b \cdot c^c \geq 1.$

Hint: tomar logaritmos y aplicar Jensen a $f(x) = x\ln x$ (convexa).

16. Para $a, b, c > 0$ con $a + b + c = 1$, demostrar que

$\sqrt{a + b} + \sqrt{b + c} + \sqrt{c + a} \geq 2.$

Hint: Cauchy-Schwarz o Jensen con $f(x)=\sqrt{x}$ (cóncava).

17. (Schur $t=1$) Para $a, b, c \geq 0$, demostrar que

$a^3 + b^3 + c^3 + 3abc \geq a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b.$

Esta es la desigualdad de Schur para $t=1$.

18. (Schur aplicado) Para $a, b, c \geq 0$ con $a + b + c = 1$, demostrar que

$a^2 + b^2 + c^2 + 2 \geq 5(ab + bc + ca) - 2abc - \frac{1}{3}.$

Hint: usar la forma de Schur en $e_1, e_2, e_3$ junto con $e_1=1$.

19. Para $a, b, c \geq 0$ con $a + b + c = 3$, demostrar que

$\frac{a}{b^2+1} + \frac{b}{c^2+1} + \frac{c}{a^2+1} \geq \frac{3}{2}.$

Hint: acotar $\frac{a}{b^2+1}\geq\frac{a(3-b)}{4}$ por AM-GM en denominador, y sumar.

20. (Ravi) Para $a, b, c$ lados de un triángulo (con $a+b>c$ etc.), demostrar que

$\frac{a}{b+c-a} + \frac{b}{c+a-b} + \frac{c}{a+b-c} \geq 3.$

Hint: sustitución de Ravi $a=y+z$, $b=z+x$, $c=x+y$ con $x,y,z>0$; después Nesbitt.

21. (OIM 1991/P4) Para $a, b, c$ lados de un triángulo, demostrar que

$a^2b(a-b) + b^2c(b-c) + c^2a(c-a) \geq 0.$

22. Para $a, b, c > 0$ con $a + b + c = 3$, demostrar que

$a^2 + b^2 + c^2 + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 6.$

Hint: TLT sobre $f(x) = x^2 + 1/x$ en $x_0 = 1$.

23. (Muirhead) Para $a, b, c > 0$ con $a + b + c = 1$, demostrar que

$a^3 + b^3 + c^3 \geq a^2b + b^2c + c^2a.$

Hint: $[3,0,0]\succ[2,1,0]$, Muirhead. Observar que no es simétrica la desigualdad original — ¿aplica Muirhead?

24. Para $a, b, c > 0$ con $abc = 1$, demostrar que

$\frac{1}{1+a+ab} + \frac{1}{1+b+bc} + \frac{1}{1+c+ca} = 1.$

(Identidad, no desigualdad. Muy útil en problemas de desigualdades como valor de referencia.)

25. (IMO 2000/P2) Para $a, b, c > 0$ con $abc = 1$, demostrar que

$\left(a - 1 + \frac{1}{b}\right)\left(b - 1 + \frac{1}{c}\right)\left(c - 1 + \frac{1}{a}\right) \leq 1.$

(Resolución completa disponible en Problemas resueltos.)

26. (IMO 2001/P2) Para $a, b, c > 0$, demostrar que

$\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}} + \frac{b}{\sqrt{b^2+8ca}} + \frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}} \geq 1.$

(Resolución completa disponible en Problemas resueltos.)

27. (ISL 2000/A1) Para $a, b, c > 0$, demostrar que

$\left(\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\right)^2 + \left(\frac{ab+bc+ca}{(a+b+c)^2}\right)^2 \leq 2 \cdot \frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}.$

28. (Clásico — Stolarsky) Para $a, b, c > 0$ con $a^2+b^2+c^2=3$, demostrar que

$a^5 + b^5 + c^5 \geq a^3 + b^3 + c^3 \geq a + b + c \geq \sqrt{3(ab+bc+ca)} \geq 3.$

29. (SOS) Para $a, b, c > 0$, demostrar que

$2(a^6+b^6+c^6) \geq a^4(b^2+c^2) + b^4(c^2+a^2) + c^4(a^2+b^2).$

Hint: SOS con términos $(a^2-b^2)^2(a^2+b^2)$, etc.

30. (Putnam 2003/B5) Para $a_1,\ldots,a_n\geq0$ con $a_1+\cdots+a_n=1$, demostrar que

$\sum_{1\leq i<j\leq n}a_ia_j(a_i+a_j) \leq \frac{1}{3} - \frac{2}{3}\sum_{i=1}^n a_i^3.$

Hint: relacionar $\sum_{i<j}a_ia_j(a_i+a_j)=\sum_i a_i^2-\sum_i a_i^3$ y usar $(\sum a_i)^2=1$.