Colección de iniciación — Ecuaciones, polinomios y comparaciones

Colección de problemas de iniciación en álgebra, todos extraídos de exámenes reales. Los problemas 1–5 son accesibles con manipulación algebraica básica; los problemas 6–11 introducen ideas de análisis de casos, funcionales sencillas y argumentos de extremo.

1. (Local XLIV OME, 1ª sesión) Encontrar todas las soluciones reales de

$x \cdot \frac{6-x}{x+1} \cdot \left(\frac{6-x}{x+1} + x\right) = 8.$

2. (Local XLIV OME, 2ª sesión) Probar que no existen enteros $a$ , $b$ , $c$ , $d$ tales que el polinomio $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ satisfaga simultáneamente $P(4) = 1$ y $P(7) = 2$ .

3. (Local XLIV OME, 2ª sesión) ¿Cuál de los dos números es mayor: $999!$ o $500^{999}$ ?

4. (OMG 1999/P5) Sean $p$ y $q$ números reales distintos que satisfacen el sistema

$p = (4 - q)\,q, \qquad q = (4 - p)\,p.$

Hallar todos los valores posibles de $p + q$ .

5. (Local XLV OME 2009, viernes por la tarde) Un número repdigit es un número natural formado por al menos dos cifras iguales (p. ej., $11$ , $33$ , $555$ , $7777$ ). Escribir $2009$ como suma de números repdigit con el mínimo número posible de sumandos.

6. (Local XLIV OME, 2ª sesión) Encontrar todas las ternas de números reales $(a, b, c)$ que satisfagan el sistema cíclico

$a^5 = 5b^3 - 4c, \qquad b^5 = 5c^3 - 4a, \qquad c^5 = 5a^3 - 4b.$

7. (Local XLV OME 2009, sábado por la tarde) Para un entero $n > 1$ fijo, encontrar todos los pares de enteros $(a, b)$ tales que las ecuaciones

$x^n + ax - 2008 = 0 \qquad \text{y} \qquad x^n + bx - 2009 = 0$

tengan al menos una raíz real común.

8. (OME Fase Local 2011–2012) Sean $a$ , $b$ , $c > 0$ con $abc = 1$ . Probar que si

$a + b + c > \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c},$

entonces exactamente uno de los tres números $a$ , $b$ , $c$ es mayor que $1$ .

9. (OME Fase Local 2011–2012) Encontrar todas las funciones continuas $f \colon \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ que satisfacen

$x + \frac{1}{x} = f(x) + \frac{1}{f(x)} \qquad \text{para todo } x > 0.$

10. (Local XLIV OME, 1ª sesión) Encontrar todas las ternas de reales $(x, y, z)$ que satisfagan

$\sqrt{3^x(5^y + 7^z)} + \sqrt{5^y(7^z + 3^x)} + \sqrt{7^z(3^x + 5^y)} = \sqrt{2}\,(3^x + 5^y + 7^z).$

11. (OME Fase Local 2011–2012) En un triángulo $ABC$ con lados $a = BC$ , $b = CA$ , $c = AB$ , se verifica

$b(a+b)(b+c) = a^3 + b\bigl(a^2 + c^2\bigr) + c^3.$

Probar que los ángulos $A$ , $B$ , $C$ están en progresión aritmética y, por tanto, $B = 60°$ .

Pistas

Problema 1: denotar $t = (6-x)/(x+1)$ . Observar que $t + x = (6-x+x(x+1))/(x+1) = (x^2+6)/(x+1)$ . La ecuación se convierte en $x \cdot t \cdot (t+x) = 8$ ; además $t = (6-x)/(x+1)$ satisface $t(x+1) = 6-x$ , es decir, $tx + t = 6 - x$ , luego $x(t+1) = 6 - t$ . Combinar para obtener una ecuación en $x$ .
Problema 2: calcular $P(7) - P(4) = a(7^3 - 4^3) + b(7^2 - 4^2) + c(7-4) = 279a + 33b + 3c = 3(93a + 11b + c)$ . Este valor es divisible por $3$ , pero $P(7) - P(4) = 2 - 1 = 1$ . Contradicción.
Problema 3: emparejar los factores $k$ y $1000-k$ en $999!$ : su producto es $k(1000-k) = 500^2 - (k-500)^2 \leq 500^2$ . El producto de los $499$ pares más el factor $500$ da $999! \leq 500^{999}$ ; la desigualdad es estricta porque no todos los productos son iguales a $500^2$ .
Problema 4: restar las dos ecuaciones del sistema para obtener $p - q = (4-q)q - (4-p)p$ . Factorizar el lado derecho; dividir por $p - q \neq 0$ para obtener $p + q$ .
Problema 5: verificar que $2009 = 1111 + 777 + 66 + 55$ (cuatro sumandos). Para demostrar que tres no bastan, comprobar que ninguna suma de tres repdigits puede dar $2009$ (analizar las posibles combinaciones por número de cifras).
Problema 6: si $a = b = c = t$ , la ecuación $t^5 = 5t^3 - 4t$ se factoriza como $t(t^4 - 5t^2 + 4) = t(t^2-1)(t^2-4) = 0$ , dando $t \in \{0, \pm 1, \pm 2\}$ . Para la unicidad, suponer WLOG $a \geq b \geq c$ y mostrar que las desigualdades en el sistema fuerzan $a = b = c$ .
Problema 7: si $r$ es raíz común, restar las ecuaciones: $(a-b)r = 1$ , luego $r = 1/(a-b)$ . Sustituir en la primera ecuación para obtener una condición sobre $(a,b)$ . Los dos tipos de soluciones corresponden a $r = 1$ y $r = -1$ .
Problema 8: la condición $abc = 1$ implica $1/a + 1/b + 1/c = bc + ca + ab$ . La hipótesis es $a + b + c > ab + bc + ca$ . Analizar los casos: si los tres son $> 1$ o si ninguno es $> 1$ , llegar a contradicción con $abc = 1$ y la hipótesis.
Problema 9: la función $g(t) = t + 1/t$ es estrictamente decreciente en $(0,1]$ y estrictamente creciente en $[1,\infty)$ , con mínimo $g(1) = 2$ . Para cada $x > 0$ , la ecuación $g(f(x)) = g(x)$ tiene exactamente dos soluciones: $f(x) = x$ y $f(x) = 1/x$ . La continuidad de $f$ restringe las elecciones a cuatro funciones globales.
Problema 10: aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwarz en la forma $\sum \sqrt{u_i v_i} \leq \sqrt{(\sum u_i)(\sum v_i)}$ con $u_i = \sqrt{a}$ y $v_i = \sqrt{b+c}$ (cíclico). La igualdad en Cauchy-Schwarz requiere $a/(b+c) = b/(c+a) = c/(a+b)$ , que solo se da cuando $a = b = c$ , es decir $3^x = 5^y = 7^z$ .
Problema 11: desarrollar la condición y factorizar: $b(a+b)(b+c) - a^3 - b(a^2+c^2) - c^3 = 0$ simplifica a $(a+b+c)(a-2b+c)(a+c) = \ldots$ ; verificar que conduce a $a + c = 2b$ , es decir, $a$ , $b$ , $c$ en progresión aritmética, equivalente a $A + C = 2B$ y $A + B + C = 180°$ , luego $B = 60°$ .