Colección regional — Álgebra en la Olimpiada Matemática Galega

Problemas reales de álgebra extraídos de los exámenes oficiales de la Olimpiada Matemática Galega (OMG, fase autonómica de la OME). Los enunciados originales están en gallego en archivo/OMG_Problemas/; aquí se presentan traducidos al castellano.

Todo lo que se necesita está en el nivel regional del itinerario: relaciones de Vieta y manipulación de polinomios, AM-GM, Cauchy-Schwarz, progresiones y sumas telescópicas, y argumentos de extremo. No hace falta convexidad/Jensen, ecuaciones funcionales completas ni la desigualdad del reordenamiento. Las pistas del final son opcionales: intenta cada problema sin ellas primero.

1. (OMG 2006/P4) Calcular los números $p$ y $q$ tales que las raíces de la ecuación

$x^2 + px + q = 0$

sean $D$ y $1 - D$ , siendo $D$ el discriminante de dicha ecuación de segundo grado.

2. (OMG 2016/P4) Las tres raíces del polinomio $x^3 - 14x^2 + Bx - 84$ son los lados de un triángulo rectángulo. Calcular $B$ .

3. (OMG 2013/P2) Probar que las sumas de las primeras, las segundas y las terceras potencias de las raíces del polinomio $p(x) = x^3 + 2x^2 + 3x + 4$ valen lo mismo.

4. (OMG 2003/P3) Dado el polinomio $p(x) = x^3 + Bx^2 + Cx + D$ , probar que si el cuadrado de una de sus raíces es igual al producto de las otras dos, entonces $B^3 D = C^3$ .

5. (OMG 2020/P4) Dados tres números reales $a$ , $b$ , $c$ , se considera el polinomio

$p(x) = (x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a).$

Demostrar que $p(x) \geq 0$ para todo número real $x$ si y solo si $a = b = c$ .

6. (OMG 2024/P2) Sea $P(x)$ un polinomio de grado $5$ y sean $a$ y $b$ dos números reales distintos de $0$ . Supongamos que el resto de $P(x)$ al dividirlo por $x^3 + ax + b$ es igual al resto de $P(x)$ al dividirlo por $x^3 + ax^2 + b$ . Determinar el valor de $a + b$ .

7. (OMG 2017/P6) Calcular el número máximo de raíces reales distintas que puede tener un polinomio $P$ que verifique la siguiente propiedad: el producto de dos raíces distintas de $P$ es también una raíz de $P$ .

8. (OMG 2022/P4) Encontrar todos los polinomios $p(x)$ con coeficientes reales tales que

$p(x) + p(y) + p(z) + p(x + y + z) = p(x + y) + p(y + z) + p(z + x)$

para cualesquiera números reales $x$ , $y$ , $z$ .

9. (OMG 2026/P1) Encontrar todas las soluciones reales del sistema de ecuaciones

$x^3 = 5x + y, \qquad y^3 = 5y + x.$

10. (OMG 2022/P3) Determinar todas las ternas de números reales $(a, b, c)$ que satisfagan el sistema

$a + b + c = 3, \qquad 2^a + 2^b + 2^c = 7, \qquad 2^{-a} + 2^{-b} = \tfrac{3}{4}.$

11. (OMG 2020/P3) Determinar todos los valores reales de $(x, y, z)$ para los que

$x + y + z = 1, \qquad x^2 y + y^2 z + z^2 x = xy^2 + yz^2 + zx^2, \qquad x^3 + y^2 + z = y^3 + z^2 + x.$

12. (OMG 2007/P3) Encontrar todas las soluciones reales de la ecuación

$3^{\,x^2 - x - y} + 3^{\,y^2 - y - z} + 3^{\,z^2 - z - x} = 1.$

13. (OMG 2020/P2) Sean $a_1, a_2, \ldots, a_{2020}$ números reales tales que la suma de $1009$ cualesquiera de ellos es positiva. Demostrar que la suma de los $2020$ números también es positiva.

14. (OMG 2006/P2) Un número positivo $x$ verifica la relación

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 7.$

Demostrar que $x^5 + \dfrac{1}{x^5}$ es un número entero y calcular su valor.

15. (OMG 2013/P4) Demostrar que el producto de los dos mil trece primeros términos de la sucesión

$a_n = 1 + \frac{1}{n^3}$

no llega a valer $3$ .

Pistas

Problema 1: por Vieta, la suma de raíces $D + (1 - D) = 1 = -p$ , luego $p = -1$ . El producto $D(1 - D) = q$ junto con la definición $D = p^2 - 4q = 1 - 4q$ forman un sistema en $D$ y $q$ .
Problema 2: ordena las raíces $a \leq b < c$ ; la hipotenusa $c$ cumple $a^2 + b^2 = c^2$ . Combina $(a + b + c)^2 = 196$ con $a^2 + b^2 + c^2 = 2c^2$ para hallar $c$ , y usa $abc = 84$ con $ab + bc + ca = B$ .
Problema 3: llama $e_1 = -2$ , $e_2 = 3$ , $e_3 = -4$ a las funciones simétricas (Vieta). Las identidades de Newton dan $p_1 = e_1$ , $p_2 = e_1^2 - 2e_2$ , $p_3 = e_1^3 - 3e_1 e_2 + 3e_3$ ; las tres valen $-2$ .
Problema 4: si $r^2 = st$ y $\{r, s, t\}$ son las raíces, entonces $r^3 = r \cdot st = rst = -D$ y además $C = rs + st + tr = r(r + s + t) = -Br$ . Eleva $C = -Br$ al cubo.
Problema 5: desarrolla $p(x) = 3x^2 - 2(a + b + c)x + (ab + bc + ca)$ . Como el coeficiente líder es $3 > 0$ , $p \geq 0$ siempre $\iff$ discriminante $\leq 0$ . Verifica que $(a + b + c)^2 - 3(ab + bc + ca) = \tfrac{1}{2}\bigl[(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2\bigr]$ .
Problema 6: ambas cúbicas dividen a $P(x) - r(x)$ , de grado $\leq 5$ . Dos cúbicas distintas no pueden ser coprimas (su m.c.m. tendría grado $6$ ), así que comparten una raíz. Su diferencia es $ax(1 - x)$ , luego la raíz común es $0$ o $1$ ; descarta $0$ porque $b \neq 0$ .
Problema 7: una raíz $r$ con $|r| > 1$ genera, multiplicándola por otra adecuada, productos de módulo creciente que no pueden ser todos raíces. Acota cuántas raíces pueden tener $|r| > 1$ y estudia los valores $0$ , $1$ , $-1$ y los signos.
Problema 8: sustituye $x = y = z = 0$ para obtener $p(0) = 0$ ; luego $z = 0$ da una relación que limita el grado. Comparando coeficientes se ve que solo sirven los de la forma $p(x) = \alpha x^2 + \beta x$ .
Problema 9: resta las ecuaciones: $(x - y)(x^2 + xy + y^2) = 4(x - y)$ , luego $x = y$ o $x^2 + xy + y^2 = 4$ . El caso $x = y$ da $x^3 = 6x$ ; para el otro, suma las dos ecuaciones.
Problema 10: con $u = 2^a$ , $v = 2^b$ , $w = 2^c$ tienes $u + v + w = 7$ , $uvw = 8$ y $\dfrac{u + v}{uv} = \dfrac{3}{4}$ . Sustituyendo $uv = 8/w$ y $u + v = 7 - w$ sale $w^2 - 7w + 6 = 0$ .
Problema 11: la segunda ecuación factoriza como $-(x - y)(y - z)(z - x) = 0$ , así que dos variables coinciden. Sustituye cada caso (con $x + y + z = 1$ ) en la tercera ecuación.
Problema 12: los tres sumandos son positivos. Por AM-GM, su suma es $\geq 3 \cdot 3^{S/3}$ , donde $S = (x - 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 1)^2 - 3$ es la suma de los tres exponentes. Analiza cuándo el valor puede bajar hasta $1$ y fuerza la igualdad $x = y = z = 1$ .
Problema 13: promedia la condición sobre todos los subconjuntos de $1009$ elementos. Cada $a_i$ aparece en el mismo número de ellos, de modo que el promedio de todas esas sumas es exactamente $\dfrac{1009}{2020}$ veces la suma total; si cada suma es positiva, también lo es el promedio.
Problema 14: pon $s = x + \dfrac{1}{x}$ ; de $x^2 + x^{-2} = 7$ sale $s^2 = 9$ . Con $p_n = x^n + x^{-n}$ usa la recurrencia $p_n = s\,p_{n - 1} - p_{n - 2}$ hasta $p_5 = 41s = \pm 123$ .
Problema 15: factoriza $1 + \dfrac{1}{n^3} = \dfrac{(n + 1)(n^2 - n + 1)}{n^3}$ y observa que $n^2 - n + 1 = (n - 1)^2 + (n - 1) + 1$ , lo que permite telescopiar. El producto queda acotado y se mantiene por debajo de $3$ .

Los enunciados originales en gallego están en archivo/OMG_Problemas/.