Sustitución y normalización en desigualdades

Principio. Si la desigualdad es homogénea de grado $d$ (es decir, si sustituir $a_i \to \lambda a_i$ multiplica ambos lados por $\lambda^d$), podemos fijar una combinación lineal de las variables, por ejemplo $a+b+c=1$ o $a+b+c=3$.

Cuándo aplicar. Cuando la desigualdad tiene el mismo grado en numerador y denominador, o cuando es de la forma $P(a,b,c)\geq 0$ con $P$ homogéneo.

Ejemplo. Probar que para $a,b,c>0$: $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$.

Ambos lados son grado 2. Normalizar: $a+b+c=1$. La desigualdad equivale a $(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)\geq ab+bc+ca$, es decir, $1\geq3(ab+bc+ca)$. Y por AM-GM: $ab+bc+ca\leq(a+b+c)^2/3=1/3$. ✓

(En este caso la normalización no fue necesaria; el punto es ilustrar que con $\sum=1$ los cálculos son más limpios.)

Cuándo aplicar. Cuando la desigualdad tiene restricción $a_1\cdots a_n=1$ o $abc=k$ fijo, o cuando la introducción de $abc=1$ simplifica la expresión.

Técnica. Sustituir $a_i = \frac{x_i}{(x_1\cdots x_n)^{1/n}}$ para imponer que el producto sea $1$, y reescribir todo en términos de los $x_i$.

Ejemplo. Para $a,b,c>0$ con $abc=1$, probar que $a+b+c\geq3$.

$\frac{a+b+c}{3}\geq\sqrt[3]{abc}=1$, así $a+b+c\geq3$. ✓

La normalización del producto es la que permite aplicar AM-GM directamente: $\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}$ ya está "calibrado".

Cuándo aplicar. Cuando $a, b, c > 0$ satisfacen la desigualdad triangular ($a+b>c$, $b+c>a$, $c+a>b$), o cuando el problema dice explícitamente que $a,b,c$ son lados de un triángulo.

Sustitución. Con $a, b, c$ lados de un triángulo, existen $x, y, z > 0$ únicos tales que:

$a = y + z, \quad b = z + x, \quad c = x + y.$

(Aquí $x,y,z$ son las semidiferencias: $x=(b+c-a)/2$, $y=(a+c-b)/2$, $z=(a+b-c)/2$.)

Ventaja. La sustitución convierte la desigualdad triangular en la positividad de $x, y, z > 0$, sin restricción adicional. Muchas desigualdades triangulares se vuelven triviales tras la sustitución.

Ejemplo. Para lados $a,b,c$ de un triángulo, probar que $a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca)$.

Con Ravi $a=y+z$, $b=z+x$, $c=x+y$:

$a^2+b^2+c^2 = (y+z)^2+(z+x)^2+(x+y)^2 = 2(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx),$

$ab+bc+ca = (y+z)(z+x)+(z+x)(x+y)+(x+y)(y+z) = x^2+y^2+z^2+3(xy+yz+zx).$

La desigualdad $a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca)$ es equivalente a:

$2(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx)<2(x^2+y^2+z^2+3(xy+yz+zx)),$

$0<4(xy+yz+zx),$

que es cierto pues $x,y,z>0$. $\square$

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Ejemplo más elaborado. Para lados $a,b,c$ de un triángulo, probar que

$\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c}\geq3.$

Con $a=y+z$, $b=z+x$, $c=x+y$: los denominadores son $b+c-a=(z+x)+(x+y)-(y+z)=2x>0$, y análogamente $2y$ y $2z$. La desigualdad es:

$\frac{y+z}{2x}+\frac{z+x}{2y}+\frac{x+y}{2z}\geq3.$

Por AM-GM: $\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\geq2$, $\frac{z}{y}+\frac{y}{z}\geq2$, $\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\geq2$. Sumando y dividiendo entre $2$:

$\frac{y+z}{2x}+\frac{z+x}{2y}+\frac{x+y}{2z} = \frac{1}{2}\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}\right)\geq\frac{1}{2}\cdot6=3. \;\square$

Cuándo aplicar. Cuando las variables satisfacen restricciones del tipo $a^2+b^2=1$ (unitaria), $|a|\leq1$, o cuando aparecen expresiones de la forma $\sqrt{1-a^2}$.

Sustitución. Si $0\leq a\leq1$: $a=\sin\theta$ (o $a=\cos\theta$) con $\theta\in[0,\pi/2]$. Si $a^2+b^2=1$: $a=\cos\theta$, $b=\sin\theta$.

Ejemplo. Para $x,y\geq0$ con $x^2+y^2=1$, maximizar $x+y$.

$x=\cos\theta$, $y=\sin\theta$: $x+y=\cos\theta+\sin\theta=\sqrt2\sin(\theta+\pi/4)\leq\sqrt2$. Máximo en $\theta=\pi/4$: $x=y=1/\sqrt2$. $\square$

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Ejemplo. Para $a,b,c>0$ con $a^2+b^2+c^2=1$, probar que $\dfrac{a}{1-a^2}+\dfrac{b}{1-b^2}+\dfrac{c}{1-c^2}\geq\dfrac{3\sqrt3}{2}$.

La función $g(t)=t/(1-t^2)$ es convexa para $t\in(0,1)$. Por Jensen con $a^2+b^2+c^2=1$ y la sustitución $a=\sin\alpha$ (y análogos): $g(\sin\alpha)=\sin\alpha/\cos(2\alpha)^{1/2}$... (La prueba completa requiere más trabajo; el punto es identificar la sustitución trigonométrica como punto de partida.)

Sustitución $t=a/(a+b)$ (proporcional). Para fracciones $a/(a+b)$ donde $a+b$ aparece en el denominador, escribir $t\in(0,1)$ y $1-t=b/(a+b)$.

Sustitución de Schur. Para probar que una expresión simétrica es $\geq0$, sustituir $a=x+y$, $b=y+z$, $c=z+x$ (como en Ravi) y trabajar en $x,y,z>0$ sin restricción.

Sustitución de SOS (preparación). Para escribir una desigualdad como suma de cuadrados, a veces conviene sustituir $a-b=u$, $b-c=v$ y analizar en función de $u,v$.