Tangent Line Trick (TLT)

Si $f$ es convexa en $I$ y $a_0 \in I$, entonces para todo $x \in I$:

f(x) \;\geq\; f(a_0) + f'(a_0)(x - a_0). \tag{TLT}

(La recta tangente en $a_0$ está por debajo de la curva convexa.)

Uso en olimpiada. Queremos probar $f(a) + f(b) + f(c) \geq C$ dado $a+b+c=s$ fijo. Si encontramos una recta $L(x) = \alpha x + \beta$ tal que:

1. $f(x) \geq L(x)$ para todo $x$ en el dominio relevante.
2. $L(a) + L(b) + L(c) = \alpha s + 3\beta = C$.

Entonces $f(a)+f(b)+f(c) \geq L(a)+L(b)+L(c) = C$.

La recta $L$ es justamente la tangente de $f$ en el punto de igualdad $a_0 = s/3$ (cuando el extremo es $a=b=c=s/3$).

Paso 1. Identificar el punto de igualdad $a_0$ (normalmente $a=b=c=s/n$ para sumas con $a+b+c=s$).

Paso 2. Calcular $L(x) = f(a_0) + f'(a_0)(x-a_0)$ (recta tangente en $a_0$).

Paso 3. Verificar que $f(x) \geq L(x)$ para todo $x$ en el dominio (esto equivale a que $f$ sea convexa).

Paso 4. Sumar: $\sum_i f(x_i) \geq \sum_i L(x_i) = nf(a_0) + f'(a_0)(\sum x_i - na_0) = nf(a_0)$ si $\sum x_i = na_0$.

Jensen daría $f(\bar{x}) \leq \bar{f}$, donde $\bar{x}=\sum x_i/n$ y $\bar{f}=\sum f(x_i)/n$. Pero si la restricción no es $\sum x_i=\text{const}$, sino que mezcla sumas y productos, Jensen no aplica directamente. El TLT sí, con la recta tangente apropiada.

El TLT para funciones no convexas en todo el dominio. Si $f$ no es convexa globalmente pero sí en la región relevante, el TLT sigue funcionando. La clave es que la cota $f(x)\geq L(x)$ sea válida en el dominio específico del problema.

Enunciado. Para $a,b,c>0$:

$\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\geq1.$

Enfoque por TLT. El punto de igualdad es $a=b=c$ (cada término es $1/3$). Buscamos una recta $L(x,y,z)=\alpha(x-a)+\beta(y+z-b-c)+\gamma$ tal que

$\frac{x}{\sqrt{x^2+8yz}}\geq \alpha(x-a)+\beta(y+z-b-c)+\gamma$

en el entorno del punto $x=y=z=a$ (donde $a=b=c$ en el problema original).

En el caso específico $a=b=c=t$ (normalizado con $a+b+c=3t$), cada término vale $t/\sqrt{9t^2}=1/3$. La suma de tres tales términos es $1$. ✓ (igualdad).

(La demostración completa vía TLT en este problema requiere verificar que la función $h(x,y,z)=x/\sqrt{x^2+8yz}$ satisface una cota lineal en $(x,y,z)$ apropiada. Se usa la cota via AM-GM del archivo de problemas resueltos, que es más directa.)

Ejemplo 1. Para $A,B,C>0$ con $A+B+C=\pi$, probar que $\sin A+\sin B+\sin C\leq\frac{3\sqrt3}{2}$.

$f(x)=\sin x$ es cóncava en $[0,\pi]$. Por Jensen (cóncava):

$\frac{\sin A+\sin B+\sin C}{3}\leq\sin\frac{A+B+C}{3}=\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}.$

(Aquí Jensen es suficiente, TLT no es necesario.)

---

Ejemplo 2 (TLT necesario). Para $A,B,C>0$ con $A+B+C=\pi$, probar que

$\sin A + \sin B + \sin C \;\geq\; \frac{3\sqrt3}{2}(1-(A-\pi/3)^2-(B-\pi/3)^2-(C-\pi/3)^2)$

(Cota refinada near the equality point — ilustra TLT con correcciones cuadráticas; no es un resultado estándar de olimpiada pero muestra el espíritu del TLT.)

---

Ejemplo 3 (TLT clásico). Para $x_1,\ldots,x_n>0$ con $\sum x_i=n$, probar que $\sum x_i^r\geq n$ para $r\geq1$.

$f(x)=x^r$ es convexa para $r\geq1$, $x>0$. Punto de igualdad: $x_i=1$. Recta tangente en $x=1$: $L(x)=f(1)+f'(1)(x-1)=1+r(x-1)=rx-(r-1)$.

Verificar $f(x)\geq L(x)$: $x^r\geq rx-(r-1)$ para $x>0$, $r\geq1$. Esto es equivalente a $x^r-rx+r-1\geq0$. Sea $g(x)=x^r-rx+r-1$. $g'(x)=rx^{r-1}-r=r(x^{r-1}-1)=0$ en $x=1$. $g(1)=0$ (mínimo). $g''(x)=r(r-1)x^{r-2}\geq0$. Así $g\geq0$ con mínimo $0$ en $x=1$. ✓

Por TLT: $\sum x_i^r\geq\sum L(x_i)=r\sum x_i-n(r-1)=rn-n(r-1)=n$. $\square$

---

Ejemplo 4 (TLT con restricción de producto). Para $a,b,c>0$ con $abc=1$, probar que $a+b+c\geq3$.

$f(x)=e^x$ es convexa. Con $a=e^u,b=e^v,c=e^w$ y $u+v+w=0$:

Necesitamos $e^u+e^v+e^w\geq3$. Por Jensen (convexa): $\frac{e^u+e^v+e^w}{3}\geq e^{(u+v+w)/3}=e^0=1$, así suma $\geq3$. ✓ (Aquí Jensen basta; TLT daría la misma cota.)

Situación	Recomendación
Función convexa, restricción $\sum x_i=C$	Jensen directo
Función convexa, restricción mezcla suma y producto	TLT con recta tangente ajustada
Jensen da cota correcta pero no exactamente lo que se pide	TLT refina
Desigualdad con exponentes fraccionarios cerca del punto de igualdad	TLT es más útil