Tres demostraciones de la infinitud de los primos

Teorema

Existen infinitos números primos.

Demostración

Demostración 1: Euclides (300 a.C.)

Supongamos por reducción al absurdo que solo existen finitos primos: $p_1, p_2, \ldots, p_k$ . Consideremos el número

N \;=\; p_1 p_2 \cdots p_k + 1.

Por el teorema fundamental de la aritmética, $N$ tiene al menos un divisor primo $q$ . Pero $q$ no puede ser ninguno de los $p_i$ — porque si $q = p_i$ , entonces $q \mid N$ y $q \mid p_1 \cdots p_k$ , así que $q \mid (N - p_1\cdots p_k) = 1$ , lo cual es imposible.

Por tanto $q$ es un primo distinto de los $p_i$ , contradiciendo la hipótesis de finitud. $\blacksquare$

Esta es la demostración del Libro IX, Proposición 20 de los Elementos. Tiene casi 2300 años y sigue siendo paradigmática.

Demostración 2: Euler (1737)

Euler dio una demostración profundamente distinta, basada en la serie armónica.

Consideramos el producto

\prod_{p \text{ primo}} \frac{1}{1 - p^{-1}}.

Por la serie geométrica, $\frac{1}{1 - p^{-1}} = 1 + p^{-1} + p^{-2} + p^{-3} + \cdots$ . Multiplicando estos factores sobre todos los primos $p$ :

\prod_{p} \frac{1}{1 - p^{-1}} \;=\; \prod_p \sum_{k=0}^{\infty} p^{-k} \;=\; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}.

La última igualdad usa el teorema fundamental de la aritmética: cada entero $n \geq 1$ aparece exactamente una vez en el desarrollo del producto (correspondiente a su factorización en primos).

Pero la serie armónica $\sum 1/n$ es divergente — eso es elemental (agrupando términos: $\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{4} > \tfrac{1}{2}, \ldots$ , hay infinitas "bloques" cada uno mayor que $\tfrac{1}{2}$ ).

Si los primos fueran finitos, el producto $\prod_p \frac{1}{1 - p^{-1}}$ sería un número finito. Pero la serie armónica diverge. Contradicción. Hay infinitos primos. $\blacksquare$

Por qué es más profunda: mientras Euclides solo prueba la existencia, Euler obtiene información cuantitativa: la serie $\sum 1/p$ sobre los primos también diverge (se sigue tomando logaritmos del producto), lo que dice que los primos son densos en un sentido muy preciso. Esta línea de razonamiento conduce al teorema de los números primos.

Demostración 3: Furstenberg (1955)

Hillel Furstenberg, siendo estudiante en 1955, publicó una demostración topológica de una página.

Definimos una topología sobre $\mathbb Z$ : declaramos abiertos a las uniones de progresiones aritméticas dobles, es decir, conjuntos de la forma

S(a, b) \;=\; \{a + bn : n \in \mathbb Z\}, \qquad b \neq 0,

y sus uniones arbitrarias y intersecciones finitas. Es un buen ejercicio verificar que esto es una topología sobre $\mathbb Z$ .

Observaciones:

Cada $S(a, b)$ es cerrado, porque es complemento de la unión $\bigcup_{i \not\equiv a \pmod b} S(i, b)$ , que es abierta.
Como $\mathbb Z = \bigcup_{p \text{ primo}} S(0, p)$ excluyendo $\{-1, 1\}$ . Es decir,

\mathbb Z \setminus \{-1, 1\} \;=\; \bigcup_{p \text{ primo}} S(0, p).

Supongamos por reducción al absurdo que hay finitos primos. Entonces la unión $\bigcup_{p \text{ primo}} S(0, p)$ es unión finita de cerrados, por tanto cerrada. Luego $\{-1, 1\} = \mathbb Z \setminus \bigcup_p S(0, p)$ es abierto.

Pero todo conjunto abierto no vacío en esta topología contiene alguna $S(a, b)$ , que es infinita. El conjunto $\{-1, 1\}$ es finito y no vacío, no puede ser abierto. Contradicción, hay infinitos primos. $\blacksquare$

Observación

Las tres demostraciones revelan tres formas distintas de pensar el resultado:

Euclides (aritmética): construye explícitamente un primo nuevo.
Euler (analítica): mide la "densidad" de los primos a través de la divergencia de la serie armónica.
Furstenberg (topológica): reformula el problema como una afirmación sobre topologías.

Cada una lleva a generalizaciones distintas:

Euclides generaliza a la búsqueda de primos en progresiones aritméticas (teorema de Dirichlet).
Euler da la primera estimación cuantitativa, que se refina hasta el teorema de los números primos ( $\pi(x) \sim x/\ln x$ ).
Furstenberg muestra que conceptos de topología pueden aclarar problemas aritméticos — anticipa la combinatoria aditiva moderna.

Aplicaciones

El esquema de Euclides — "multiplica lo que conoces y suma uno" — se generaliza:

Hay infinitos primos $\equiv 3 \pmod 4$ . Supongamos que solo hay finitos: $3, 7, 11, \ldots, p_k$ . Consideramos $N = 4p_1 p_2 \cdots p_k - 1$ . Este número es $\equiv 3 \pmod 4$ y por tanto tiene algún divisor primo $\equiv 3 \pmod 4$ (porque un producto de primos $\equiv 1 \pmod 4$ es $\equiv 1 \pmod 4$ ). Este primo no puede estar entre los $p_i$ por el mismo argumento que Euclides. Contradicción.

La demostración del teorema de Dirichlet sobre infinitos primos en progresiones aritméticas $a \pmod n$ con $\gcd(a, n) = 1$ generaliza esta idea con caracteres modulares y series-L.

Problemas relacionados

Teorema de Dirichlet: hay infinitos primos en toda progresión aritmética $a, a+d, a+2d, \ldots$ con $\gcd(a, d) = 1$ .
Conjetura de los primos gemelos: existen infinitos pares $(p, p+2)$ ambos primos. Abierta.
Teorema de Green-Tao (2004): existen progresiones aritméticas arbitrariamente largas formadas exclusivamente por primos.