Demostración del Teorema de Wilson: tres caminos

Teorema

Wilson. Para todo entero $p \geq 2$ :

(p - 1)! \;\equiv\; -1 \pmod p \quad \Longleftrightarrow \quad p \text{ es primo}.

Demostración

Demostración 1: emparejamiento de inversos

Sea $p$ primo. Vamos a probar que $(p-1)! \equiv -1 \pmod p$ .

En el grupo multiplicativo $(\mathbb Z/p\mathbb Z)^*$ (los enteros del $1$ al $p-1$ con multiplicación módulo $p$ ), cada elemento $a$ tiene un único inverso $a^{-1}$ tal que $a \cdot a^{-1} \equiv 1 \pmod p$ .

Pregunta clave: ¿qué elementos $a$ son su propio inverso? Estos satisfacen $a^2 \equiv 1 \pmod p$ , es decir, $(a-1)(a+1) \equiv 0 \pmod p$ . Como $p$ es primo, $a \equiv 1$ o $a \equiv -1 \equiv p - 1 \pmod p$ .

Por tanto, los autoinversos son $1$ y $p - 1$ . Los demás $p - 3$ elementos se emparejan: $2 \leftrightarrow 2^{-1}$ , $3 \leftrightarrow 3^{-1}$ , etc., con cada par contribuyendo un producto $\equiv 1$ .

Multiplicando todos:

(p-1)! \;=\; 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (p-1) \;\equiv\; 1 \cdot (p-1) \cdot \underbrace{1 \cdot 1 \cdots 1}_{(p-3)/2 \text{ pares}} \;=\; p - 1 \;\equiv\; -1 \pmod p. \qquad \blacksquare

Recíproco. Si $p$ no es primo y $p > 4$ , entonces $p$ tiene un divisor propio $d$ con $1 < d < p$ . Es entonces $d \mid (p-1)!$ porque $d$ aparece como factor. Pero $d \mid p$ y $(p-1)! \equiv -1$ implicaría $d \mid 1$ , contradicción. Para $p = 4$ se verifica directamente: $3! = 6 \equiv 2 \pmod 4$ , no es $-1 \equiv 3$ . ✓

Demostración 2: polinomios sobre $\mathbb F_p$

Sea $p$ primo, y consideremos el polinomio

P(x) \;=\; x^{p-1} - 1 \in \mathbb F_p[x].

Por el pequeño teorema de Fermat, todos los $1, 2, \ldots, p-1$ son raíces de $P$ . Como $P$ tiene grado $p - 1$ y exactamente $p - 1$ raíces distintas, se factoriza completamente:

P(x) \;=\; (x - 1)(x - 2)(x - 3) \cdots (x - (p - 1)) \pmod p.

Comparando los términos constantes de ambos lados:

-1 \;=\; (-1)(-2)(-3) \cdots (-(p-1)) \;=\; (-1)^{p-1} \cdot (p-1)!.

Como $p$ es impar (excepto $p = 2$ , que se verifica directamente), $(-1)^{p-1} = 1$ , así que

(p - 1)! \;\equiv\; -1 \pmod p. \qquad \blacksquare

Esta demostración es más estructural: identifica el factorial con un coeficiente del polinomio $x^{p-1} - 1$ y deduce la identidad como álgebra, no como conteo.

Demostración 3: identidad combinatoria

(Esquema.) Consideramos el número de permutaciones de $p$ objetos sin punto fijo (desarreglos), denotado $D_p$ . Por inclusión-exclusión:

D_p \;=\; p! \sum_{k=0}^{p} \frac{(-1)^k}{k!}.

Por otro lado, los desarreglos tienen una estructura cíclica: cada uno se descompone en ciclos de longitud $\geq 2$ . Una construcción combinatoria muestra que para $p$ primo, $D_p \equiv -1 \pmod p$ .

Combinando esto con la fórmula de inclusión-exclusión y simplificando módulo $p$ (los términos con $k \geq 2$ contienen factor $p$ o se cancelan), se obtiene Wilson.

(El desarrollo completo es notable porque conecta el factorial con la combinatoria de permutaciones — y a través de ella con la teoría de representaciones del grupo simétrico.)

Observación

Las tres demostraciones son distintamente filosóficas:

Emparejamiento: combinatoria pura, una idea inmediatamente verificable.
Polinomios: álgebra estructural, generaliza inmediatamente al teorema de Lagrange y a los polinomios cíclotómicos.
Combinatoria: convierte una identidad numérica en una afirmación sobre permutaciones, abriendo puertas a la teoría de Pólya-Burnside.

Esta multiplicidad es típica de los teoremas profundos: una sola fórmula admite muchas demostraciones porque conecta varias áreas.

Aplicaciones

Aplicación 1: cálculo de inversos

Wilson da una fórmula explícita para el inverso de $(p - 2)! \pmod p$ :

(p - 2)! \cdot (p - 1) \;\equiv\; -1, \qquad (p - 2)! \;\equiv\; \frac{-1}{p - 1} \;\equiv\; \frac{-1}{-1} \;\equiv\; 1 \pmod p.

Es decir, $(p - 2)! \equiv 1 \pmod p$ para todo primo $p$ .

Aplicación 2: criterio de primalidad

Wilson da un criterio de primalidad: $p$ primo $\iff (p-1)! \equiv -1 \pmod p$ . Aunque computacionalmente impráctico (calcular $(p-1)!$ es $O(p)$ , mientras que algoritmos modernos primarian en $O(\log^c p)$ ), es teóricamente importante.

Aplicación 3: refinamientos modulares

Wilson se generaliza:

\prod_{\substack{1 \leq a \leq n \\ \gcd(a, n) = 1}} a \;\equiv\; \pm 1 \pmod n,

con el signo $+1$ excepto cuando $n = 2, 4, p^k, 2p^k$ con $p$ primo impar. Este es un teorema más sutil con aplicaciones en aritmética analítica.

Problemas relacionados

Generalización de Lagrange. En un grupo abeliano finito, el producto de todos los elementos es el producto de los elementos de orden $\leq 2$ .
Identidad de Vandermonde: suma de productos relacionada con factoriales.
Sumas de Gauss: combinaciones lineales de raíces $p$ -ésimas de la unidad pesadas por símbolos de Legendre.