Cuadriláteros cíclicos: criterios y propiedades

Definición

Un cuadrilátero $ABCD$ es cíclico si existen una circunferencia $\omega$ tal que $A, B, C, D \in \omega$ . En ese caso, $\omega$ se llama la circunferencia circunscrita de $ABCD$ .

Criterio 1: ángulos opuestos

Teorema

El cuadrilátero $ABCD$ es cíclico si y solo si los ángulos opuestos son suplementarios:

$\boxed{\angle DAB + \angle BCD = 180°, \qquad \angle ABC + \angle CDA = 180°.}$

Demostración

( $\Rightarrow$ ) Si $ABCD$ es cíclico con circuncentro $O$ , los arcos $\widehat{BCD}$ y $\widehat{DAB}$ suman $360°$ (el círculo completo). Por el teorema del ángulo inscrito, $\angle DAB = \frac{1}{2}\widehat{BCD}$ y $\angle BCD = \frac{1}{2}\widehat{DAB}$ . Así

$\angle DAB + \angle BCD = \tfrac{1}{2}({\widehat{BCD}} + {\widehat{DAB}}) = \tfrac{1}{2} \cdot 360° = 180°.$

( $\Leftarrow$ ) Si $\angle DAB + \angle BCD = 180°$ , sea $\omega$ la circunferencia que pasa por $A$ , $B$ , $D$ . Sea $C'$ la segunda intersección de $\overleftrightarrow{BC}$ con $\omega$ . Por la dirección directa: $\angle DAB + \angle BC'D = 180°$ . Comparando con la hipótesis: $\angle BCD = \angle BC'D$ . Esto implica que $C = C'$ o que $C$ y $C'$ definen el mismo punto sobre la recta $BC$ , luego $C \in \omega$ . $\blacksquare$

Criterio 2: ángulo sobre el mismo arco

Teorema

Cuatro puntos $A$ , $B$ , $C$ , $D$ son concíclicos si y solo si

$\boxed{\angle CAB = \angle CDB}$

(los dos ángulos que «ven» el segmento $CD$ desde el mismo lado).

Demostración

Directamente del teorema del ángulo inscrito: ambos ángulos son iguales a la mitad del arco $\widehat{CD}$ . La recíproca: si $\angle CAB = \angle CDB$ , el punto $D$ está sobre la circunferencia que pasa por $A$ , $B$ , $C$ (porque el lugar de los puntos desde donde $AB$ se ve bajo un ángulo fijo es un arco de circunferencia). $\blacksquare$

Observación. Si $\angle CAB = \angle CDB$ pero $A$ y $D$ están a lados opuestos de $BC$ , entonces $\angle CAB + \angle CDB = 180°$ y los cuatro puntos son igualmente concíclicos.

Criterio 3: ángulo entre cuerda y tangente

Teorema

Si la recta $\ell$ es tangente a la circunferencia $\omega$ en $A$ , y $B$ , $C \in \omega$ , entonces

$\angle(AC, \ell) = \angle ABC.$

Consecuencia para cuadriláteros: $ABCD$ es cíclico si y solo si el ángulo entre $DA$ y la tangente en $A$ a la circunferencia $(ABC)$ es igual a $\angle ABD$ .

Estrategia: cómo demostrar que cuatro puntos son concíclicos

En olimpiada aparecen principalmente cuatro métodos:

Método	Cuándo usarlo
Ángulos opuestos suman $180°$	Si puedes calcular los ángulos del cuadrilátero
Dos ángulos iguales sobre el mismo arco	Si hay ángulos iguales visibles (ángulos inscritos, alturas, bisectrices)
Potencia de un punto constante	Si el punto está fuera de dos círculos y los productos coinciden
Cuatro puntos equidistan de un centro	Si puedes encontrar el circuncentro directamente

Truco habitual. Para demostrar que $P$ , $Q$ , $R$ , $S$ son concíclicos, busca un ángulo que dos de los cuatro puntos «ven» igual. Por ejemplo: si $\angle QPR = \angle QSR$ , entonces $P$ , $Q$ , $R$ , $S$ son concíclicos.

Ejemplos

Ejemplo 1

Enunciado. Sea $ABCD$ un cuadrilátero con $\angle DAB = \angle DCB$ . Demostrar que $ABCD$ es cíclico.

Solución. $\angle DAB = \angle DCB$ significa que $A$ y $C$ ven el segmento $DB$ bajo el mismo ángulo (desde el mismo lado). Por el criterio 2: $A$ , $B$ , $C$ , $D$ son concíclicos. $\square$

Ejemplo 2 (olimpiada)

Enunciado. En el triángulo $ABC$ , la altura desde $A$ tiene pie $H$ . Sea $M$ el punto medio de $BC$ . Demostrar que $A$ , $H$ , $M$ , $B'$ son concíclicos, donde $B'$ es el simétrico de $B$ respecto a $M$ .

Solución. [Ejercicio para el lector: usar ángulos opuestos.]

Ejemplo 3

Enunciado. En el cuadrilátero cíclico $ABCD$ , $P$ es la intersección de las diagonales. Demostrar que $\triangle PAB \sim \triangle PCD$ .

Solución. $\angle PAB = \angle CAB$ y $\angle PCD = \angle ACD$ son ángulos inscritos que abarcan el mismo arco $\widehat{BD}$ (visto desde $A$ y desde $C$ , en el mismo lado de la cuerda $BD$ ), así $\angle PAB = \angle PCD$ . Y $\angle APB = \angle CPD$ (opuestos por el vértice). Por AA: $\triangle PAB \sim \triangle PCD$ . $\square$

Problemas relacionados

(Iniciación) Demostrar que en el cuadrilátero cíclico $ABCD$ : $\angle ABD = \angle ACD$ (ángulos sobre el mismo arco $AD$ ).
(Regional) Sea $\triangle ABC$ con alturas $AD$ , $BE$ , $CF$ (cuyos pies son $D$ , $E$ , $F$ ). Demostrar que $BDHF$ es un cuadrilátero cíclico, donde $H$ es el ortocentro.
(Regional) En el cuadrilátero cíclico $ABCD$ , las diagonales se cortan en $P$ . Demostrar que $PA \cdot PC = PB \cdot PD$ .
(Nacional) Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $AB \cdot CD = BC \cdot DA$ . ¿Es necesariamente cíclico? Justificar.
(Nacional) Sea $\omega$ una circunferencia y $A$ , $B$ , $C$ , $D$ cuatro puntos en ese orden sobre $\omega$ . Las rectas $AB$ y $CD$ se cortan en $P$ , y las rectas $AD$ y $BC$ se cortan en $Q$ . Demostrar que $PQ$ es el eje radical de $\omega$ y el punto $P$ .